[Codeforces1225E]Rock Is Push

题意

一个 $n\times m$的网格上有一些箱子

你只能向下或者向右走，如果碰到了箱子你可以沿着你行走的方向推动它

与之相连的在同一个方向上的所有箱子会一起向这个方向移动

求从 $(1,1)$走到 $(n,m)$的方案数在模 $10^9+7$下的结果

$1\le n,m\le2000$

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样例 $3$的动图

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题解

如果不能推动，那就差不多是过河卒了，这题也同样考虑 $DP$

考虑到推动会有向下向右的区别

设 $D_{i,j}/R_{i,j}(Down/Right)$表示从 $(1,1)$到 $(i,j)$，上一步是向下 $/$右走的方案数

初始 $D_{1,1}=R_{1,1}=1$

假设我们当前在 $(i,j)$且当前位置没有箱子，考虑向右最多能走多少步

假设从 $(i,j+1)$到 $(i,m)$上有 $k$个箱子，那么我们最多就能向右走 $m-j-k$步

即 $(i,j+1)$到 $(i,m-k)$这些格子我都能走到

由于是向右走过来的那么 $R_{i,j+1},...,R_{i,m-k}$的方案都要加上 $R_{i,j}+D_{i,j}$

记 $CntD_{i,j}$表示从 $(i,j)$向下到 $(n,j)$有多少箱子， $CntR_{i,j}$表示从 $(i,j)$向右到 $(i,m)$有多少箱子

那么就有

$R_{i,j+1},...,R_{i,m-CntR_{i+1,j}}$都要加上 $R_{i,j}+D_{i,j}$

$D_{i+1,j},...,D_{n-CntD_{i+1,j},j}$都要加上 $R_{i,j}+D_{i,j}$

区间加法可以使用差分数组进行优化，然后同一列 $/$行求和即可

因为差分只会影响到后面枚举的状态，所以可以直接在原数组上进行修改，然后求前缀和

最后答案就是 $D_{n,m}+R_{n,m}$

const int Mod=1e9+7;
inline void Plus(int&a,int b){a+=b;a>=Mod?a-=Mod:0;}
int main(){
	...
	for(int i=n;i;--i)
		for(int j=m;j;--j)
			CntD[i][j]+=CntD[i+1][j],CntR[i][j]+=CntR[i][j+1];
	D[1][1]=R[1][1]=1;D[2][1]=R[1][2]=-1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j){
			Plus(D[i][j],D[i-1][j]);
			Plus(R[i][j+1],D[i][j]),Plus(R[i][m-CntR[i][j+1]+1],Mod-D[i][j]);
			Plus(R[i][j],R[i][j-1]);
			Plus(D[i+1][j],R[i][j]),Plus(D[n-CntD[i+1][j]+1][j],Mod-R[i][j]);
	}
	Ans=(D[n][m]+R[n][m])%Mod;
	...
}