1. Laplace算子的定义
直奔主题:Laplace算子被定义为函数梯度的散度,即:
在图像处理,我们知道经常把Laplace算子作为边缘检测之一,也是工程数学中常用的一种积分变换。
- 梯度:
假设在空间坐标系下,那么一个函数 f(x,y,z) 在点 (x0 , y0 ,z0) 处的梯度定义如下:
▽f=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)∣x=x0,y=y0,z=z0
于是梯度函数:
▽f=∂x∂f⋅i
+∂y∂f⋅j
+∂z∂f⋅k
- 散度:
假设在空间坐标系下,若函数
F(x,y,x)=Fx⋅i
+Fy⋅j
+Fz⋅k
,那么其散度定义如下:
div F=▽⋅F=∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz
- Laplace算子:
2. 转换成离散形式
在图像处理领域,由于图像有x和y两个方向,且是离散分布的,需要将Laplace算子方程表示为其在x,y两个方向的离散形式:
- 离散一阶微分方程:
∂x∂f=f(x+1)−f(x)
- 离散二阶微分方程:
∂x2∂2f=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
- Laplace算子离散方程:
转换成卷积核表示如下: