[数学] 欧几里得算法及扩展欧几里得算法

欧几里得算法

是什么?

欧几里得发明的算法.

有啥用?

求解两个数的 \(\gcd\).

内容?

\[\gcd(a,\ b) = \gcd(b,\ a \% b) \]

怎么证?

不妨设 \(a \gt b\).

\(a = kb + r\), 则 \(a \% b = r\).

设 \(a,\ b\) 的公约数为 \(d\), 则有 \(d \mid a, \ d\mid b\).

因为 \(r = a \% b = a - kb\), 所以 \(r\div d = (a-kb) \div d = a \div d - kb \div d\),

于是 \(d \mid r\).

所以 \(a,\ b\) 的公约数一定是 \(b, \ r\) 的公约数,

因此 \(\gcd(a,\ b) = \gcd(b,\ r)\),

即 \(\gcd(a,\ b) = \gcd(b,\ a\%b)\).

若 \(a \lt b\), 进行一次操作后就可以转化为上述 \(a \gt b\) 的形式.

怎么写?

int gcd(int a, int b){
    if(!b){
        return a;
    }
    
    return gcd(b, a%b);
}

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ExGCD

是什么?

顾名思义, 就是 Extended GCD.

有啥用?

常用于求 \(ax + by = \gcd(a,\ b)\) 的一组可行解.

\(a,\ b\) 均为整数, 而非均为正整数.

怎么搞?

上式要有整数解, 显然需要满足 \(a,\ b\) 不同时为 \(0\) ( 裴蜀定理 )

设:

\(ax_1 + by_1 = \gcd(a,\ b) \\ bx_2 + a\%b y_2 = \gcd(b,\ a\%b)\)

根据欧几里得算法, 我们有: \(\gcd(a,\ b) = \gcd(b,\ a\%b)\)

所以: \(ax_1 + by_1 = bx_2 + a\%b y_2\)

又: \(a\%b = a - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdot b\)

所以: \(ax_1 + by_1 = bx_2 + (a - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdot b) y_2\)

整理, 得: $ax_1 + by_1 = ay_2 + b(x_2 - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2) $

所以 \(x_1 = y_2,\ y_1 = x_2 - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2\),

计算 \(bx_2 + a\%b y_2 = \gcd(b,\ a\%b)\), 并不断递归, 得到答案

递归边界: \(\gcd(a,\ b) = 1\), 则 \(x = 1,\ y = 0\).

怎么写?

void ExGCD(int a, int b, int &x, int &y){
	if(!b){
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	
	ExGCD(b, a%b, y, x);
	y -= a/b * x;
}