C. Monotonicity 2(数据加强版)
题目描述
- 对于一个整数序列\(a_1,a_2,...,a_n\)，我们定义其“单调序列"为一个由 <，> 和 = 组成的符号序列 \(s_1,s_1,...s_{n-1}\)，其中符号 \(s_i\) 表示 \(a_i\) 和 \(a_{i+1}\) 之间的关系。例如，数列 2,4,3,3,5,3 的单调序列为 <,>,=,<,> 。
- 对于整数序列 \(b_1,b_2,...,b_{n+1}\) 以及其单调序列 \(s_1,s_2,..s_n\)，如果符号序列 \(s'_1,s'_2,...s'_k\) 满足对所有 \(1\le i\le n\)有 \(s_i=s'_{((i-1)\mod k)+1}\)，我们就说序列 \(s_1,s_2,...,s_n\)「实现」了序列 \(s'_1,s'_2,...,s'_k\)。也就是说，序列 \(s_1,s_1,...s_n\) 可以通过重复多次 \(s'_1,s'_2,...,s'_k\) 序列并删除一个后缀得到。例如，整数数列 2,4,3,3,5,3 至少实现了以下符号序列：
- <,>,=
- <,>,=,<,>
- <,>,=,<,>,<,<,=
- <,>,=,<,>,=,>,>
- 给定一个整数序列 \(a_1,a_2,...,a_n\) 以及一个单调序列 \(s_1,s_2,..s_k\)，求出原整数序列最长的子序列\(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_m}(1\le i_1<i_2<...<i_m\le n)\) 使得前者的单调序列实现后者的符号序列。
输入格式
- 第一行包含用空格分隔的两个整数 n,k，分别表示整数序列 \(a_i\) 的长度和单调序列 \(s_j\) 的长度。
- 第二行包含用空格分隔的 n 个整数，表示序列 \(a_i\).
- 第三行包含用空格分隔的 k 个符号，表示符号序列 \(s_j\).
输出格式
- 第一行输出一个整数 m （保证答案不小于 2），表示序列 \(a_1,a_2,...,a_n\) 的最长的「实现」了单调序列 \(s_1,s_2,..s_n\) 的子序列。
- 第二行输出任意一个这样的子序列\(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_m}\)，元素之间用空格分隔。
样例输入
7 3
2 4 3 1 3 5 3
< > =
样例输出
6
2 4 3 3 5 3
数据范围与提示
- 对于 100% 的数据\(1\le 5\times 10^5,1\le k\le 100,1\le a_i \le 10^6,s_j\in \{<,>,=\}\) 。
Solve
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可以用树状数组完成的题，为什么要用线段树呢？
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先简化一下题意：
- 就是将 s 序列复制几次展开，让 a 的子序列的符号是 s 序列的前缀。
- 就像 <,>,= 可以写成 <,>,=,<,>,=,<,>,=,... a 序列的一个子序列 2,4,3,3,5,3 的符号序列 <,>,=,<,> 就是上面展开的那个序列的前缀，所以合法。
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根据题目可以想到\(O(n^2)\)的写法：定义\(f_i\)为以\(a_i\)为结尾的最长合法序列。（有些类似最长上升子序列）
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第一维枚举状态 i，第二维选取决策 j，就是在 1 到 i-1 中选取一个 j 使得\(a_i\)可以接在 \(a_j\) 后面且 \(f_j\) 最大。（在类比一下最长上升子序列）
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这里考虑\(a_i\)可以接在 \(a_j\) 后面条件，因为\(f_j\)是最长长度，这样它后面的符号其实就确定了，就是\(s[f_i]\)（预处理是先把 s 序列按我描述的题意展开），是如果要接到\(a_j\)的后面，必须要满足\(a_j s[f_i]a_i,s[f_i]\in \{<,>,=\}\)
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\(n^2\)的解法是跑不了n的范围是\(5\times 10^5\)的数据的，考虑优化。
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关于DP的优化，什么单调队列优化，斜率优化其实都是在选决策 j 的时侯进行优化，这里的决策也可以进行优化。
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每次都只有三种情况，而且是选取的最大值，其实决策 j 的取值也有三种：
- \(a_j<a_i\)中 f 值最大的 j
- \(a_j>a_i\)中 f 值最大的 j
- \(a_j=a_i\)中 f 值最大的 j
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都是取最大值而且小于号情况是前缀最大值，大于号情况是后缀最大值，这两个用开在 0-1e6 树状数组维护，等于号的其实开个数组就够了，因为它相当与单点操作，不需要树状数组或线段树维护
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关于树状数组如何维护后缀最大值，我们想，维护前缀最大值的时候是向后更新，向前查询，那维护后缀最大值就可以向前更新，向后查询，其实是一个道理的。
-
我的代码也不是很长，还有不理解的地方可以看一看代码
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5, M = 1e6 + 5;
char c[N];
int n, k, a[N], f[N], t1[M], t2[M], t[M], p[N], ans, last;
int low(int x) {//lowbit函数
return x & -x;
}
void Change1(int x) {前缀最大值向后更新
for (int i = a[x]; i <= 1e6; i += low(i))
if (f[x] > f[t1[i]]) t1[i] = x;
}
int Ask1(int x) {前缀最大值向前查询
int b = 0;
for (int i = a[x] - 1; i; i -= low(i))
if (f[b] < f[t1[i]]) b = t1[i];
return b;
}
void Change2(int x) {后缀最大值向前更新
for (int i = a[x]; i; i -= low(i))
if (f[x] > f[t2[i]]) t2[i] = x;
}
int Ask2(int x) {后缀最大值向后查询
int b = 0;
for (int i = a[x] + 1; i <= 1e6; i += low(i))
if (f[b] < f[t2[i]]) b = t2[i];
return b;
}
void Print(int x) {//递归输出方案
if (!x) return;
Print(p[x]);
printf("%d ", a[x]);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d", &a[i]), f[i] = 1;//f初始化为1
for (int i = 1; i <= k; ++i)
scanf(" %c", &c[i]);
for (int i = k + 1; i < n; ++i)
c[i] = c[(i-1)%k+1];//展开
for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {
if (f[i] < f[j=Ask1(i)] + 1)//查询小于号
f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
if (f[i] < f[j=Ask2(i)] + 1)//查询大于号
f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
if (f[i] < f[j=t[a[i]]] + 1)//查询等于号
f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
if (ans < f[i]) ans = f[i], last = i;//更新答案
if (c[f[i]] == '<') Change1(i);//更新小于号
if (c[f[i]] == '>') Change2(i);//更新大于号
if (c[f[i]] == '=' && f[i] > f[t[a[i]]]) //更新等于号
t[a[i]] = i;
}
printf("%d\n", ans);
Print(last);//输出方案
return 0;
}