向量
基本概念
- 既有大小又有方向的量称之为向量，与之相对应的是标量，标量是只有大小没有方向的量；
- 在3D笛卡尔坐标系：基本上，一个顶点就是XYZ 坐标空间上的一个位置，而在空间中给定的⼀个位置恰恰是由⼀个单独的 XYZ 定义的，而这样的 XYZ 就是向量;
- 长度为0的向量称之为零向量，零向量与所有向量平行；
- 模为1的向量称之为单位向量，单位向量并不是唯一的，每个向量单位化以后都是单位向量；
- 空间向量长度(向量的模)计算公式：
- math3d库，有2个数据类型，能够表示一个三维或者四维向量：
M3DVector3f可以表示⼀个三维向量(x,y,z)， M3DVector4f则可以表示⼀个四维向量(x,y,z,w)；（在典型情况下，w坐标设为1.0。x,y,z值通过除以w，来进行缩放。而除以1.0则本质上不改变x,y,z值 ）
// 三维向量/四维向量的声明
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
// 声明⼀个三维向量 M3DVector3f:类型 vVector:变量名
M3DVector3f vVector;
// 声明一个四维向量并初始化⼀个四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
// 声明一个三分量顶点数组，例如生成⼀个三角形
M3DVector3f vVerts[] = {
-0.5f,0.0f,0.0f,
0.5f,0.0f,0.0f,
0.0f,0.5f,0.0f};
运算
一、向量的数乘
- 向量的数乘表示向量跟一个实数相乘的乘积，结果还是一个向量。 比如实数a跟一个向量V=(Vx, Vy)相乘，结果为aV=(aVx, aVy)；
- 在坐标轴中，如果一个物体的位置为A(3, 3, 3)，如果将其位置乘以2再赋值给这个物体，那么A的位置就会变成A’(6,6,6)。也就是说，将这个物体的位置从A点移动到了A’点.
二、向量的加法
- 两个向量相加以后的结果还是一个向量，新向量的各个分量的值等于两个向量的对应分量的加值。计算公式为A + B = (A1 + B1, A2 + B2 … , An + Bn)（例如两个二维向量相加，向量C等于向量A(3, 4)加向量B(5, 6)，即：C = A + B = (3+5, 4+6)）；
- 遵循“平行四边形法则”和“三角形法则”；
三、向量的减法
- 两个向量相减所得还是一个向量，这个向量的各个分量的值为旧向量的各个分量的差值。公式为：A - B = (A1 + B1, A2 + B2 … , An + Bn)。（例如两个二维向量相加，向量C等于向量A(3, 4)加向量B(5, 6)，即：C = A - B = (3-5, 4-6)）
- 遵循“三角形法则”：减法的所得的最终向量，其方向是由减数向量的终点指向被减数向量的终点。
四、向量的点乘（dot product）
- 向量的点积表示为A · B = A1B1 + A1B1 + … + AnBn；
- 几何意义：点乘表示了两个向量的接近程度，即夹角越小，两个向量越靠近，在等于0的时候平行，等于1的时候垂直。因此向量的点乘在游戏中经常用来判断两个向量的接近程度。比如两个移动的物体是否会撞上，需要不需要避开之类的AI计算。同时，已知两个向量，可以计算两个向量的夹角。从而进行旋转操作等
A·B > 0，则夹角在[0, 90)；
A·B = 0，则夹角等于 90，两个向量垂直
A·B < 0，则夹角在(90,180) - 点乘只能在2个向量之间进行；
- 2个(三维向量)单元向量之间进行点乘运算将得到⼀个标量(不是三维向量，是⼀个标量)，它表示两个向量之间的夹⻆；
- 性质：
A·B = B·A 点乘满足交换律；
A·(B + C) = A·B + A·C 点乘满足分配律；
(aA)·B = a(A·B) 一个实数不影响两个向量的点乘 - math3d 库中提供了关于点乘的API：
// m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果，即余弦值cosα
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
// m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹角的弧度值 α = arccos余弦
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
五、向量的叉乘（cross product）
- 两个叉乘所得出的新向量，垂直与这两个向量，并穿过这两个向量的交叉点。新向量的方向则取决于使用的坐标系，Unity使用的是左手坐标系，OpenGL使用的是右手坐标系。左手坐标系中，左手掌心向外，食指向上，中指向前，大拇指的方向就是x轴，食指指向的是y轴，中指指向的是z轴，将两个向量对准坐标轴，剩余的一个方向就是新向量的方向。
- 叉乘的模：|A X B| = |A||B|sinα，其中α是两个向量的夹角；
- math3d 库中提供了关于叉乘的API
// m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到⼀个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const
M3DVector3f v);
矩阵（Matrix）
概念
- 在其他编程标准中, 许多矩阵库定义一个矩阵时，使用⼆维数组；OpenGL的约定里，更多倾向使用一维数组；
- 矩阵声明
// 三维矩阵/四维矩阵的声明
typedef float M3DMatrix33f[9];
typedef float M3DMatrix44f[16];
-
OpenGL 使⽤的是 Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定；⾏优先矩阵（左）和列优先矩阵（右）如下图所示：
-
⾏优先矩阵与列优先矩阵互为转置矩阵；
-
矩阵的这16个值表示空间中⼀个特定的位置； 这4列中，每⼀列都是有4个元素组成的向量;（第一列：X轴方向，第二列：Y轴方向，第三列：Z轴方向，第四列：交换位置）；
-
如果将⼀个对象所有的顶点向量乘以矩阵，就能让整个对象变换到空间中给定的位置和⽅向；
-
列向量进行了特别的标注：矩阵的最后⼀行都为0，只有最后⼀个元素为1。
单元矩阵
- 主对角线上数据都是1，其余元素都是0，即为单元矩阵。其初始化方式有：
// 单元矩阵初始化⽅式1
GLFloat m[] = {
1,0,0,0, // X Column
0,1,0,0, // Y Column
0,0,1,0, // Z Column
0,0,0,1}; // Translation
// 单元矩阵初始化方式2
M3DMatrix44f m = {
1,0,0,0, // X Column
0,1,0,0, // Y Column
0,0,1,0, // Z Column
0,0,0,1};// Translation
// 单元矩阵初始化⽅式3
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
- 将⼀个向量✖ 单元矩阵，就相当于⼀个向量✖1， 不会发⽣任何改变；
-
在线性代数中：
变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
变换后顶点向量 = 顶点 ✖ 模型矩阵 ✖ 观察矩阵 ✖ 投影矩阵
-
在OpenGL 的维度，如下列公式:
变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
变换顶点向量 = 投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点
-
矩阵左乘的代码如下：
从栈顶获取栈顶矩阵复制到 mTemp；将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix；将结果放回栈顶空间⾥；
inline void MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
// 矩阵左乘
M3DMatrix44f mTemp;
m3dCopyMatrix44(mTemp, pStack[stackPointer]);
m3dMatrixMultiply44(pStack[stackPointer], mTemp, mMatrix);
}
inline void MultMatrix(GLFrame& frame) {
M3DMatrix44f m;
frame.GetMatrix(m);
MultMatrix(m);
}
- ChangeSize函数中，得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵；
RenderScene函数中，将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵；
得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即栈顶 = 模型视图投影矩阵；
// 投影矩阵 projectionMatrix
modelViewMatrix.PushMatrix();
M3DMatrix44f pm;
projectionMatrix.GetMatrix(pm);
modelViewMatrix.MultMatrix(pm);
// 观察者矩阵 viewMatrix
modelViewMatrix.PushMatrix();
M3DMatrix44f mCamera;
cameraFrame.GetCameraMatrix(mCamera);
modelViewMatrix.MultMatrix(mCamera);
// 模型变换矩阵 modelMatrix
M3DMatrix44f mObjectFrame;
viewFrame.GetCameraMatrix(mObjectFrame);
modelViewMatrix.MultMatrix(mObjectFrame);
矩阵的运算
矩阵的点乘
- A*B是以数学运算中矩阵相乘的方式实现的，即Mat矩阵A和B被当做纯粹的矩阵做乘法运算，这就要求A的列数等于B的行数时，才能定义两个矩阵相乘。如A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵。
- C中第i行第j列所在元素C(i,j)等于A中第i行所有元素跟B中第j列所有元素一一对应的乘积之和。对于A、B都是2行2列矩阵的情况：
矩阵的dot（A.dot(B)）
-
A.dot(B)操作相当于数学向量运算中的点乘，也叫向量的内积、数量积；
-
对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量；
-
对于向量a和向量b：
a和b的点积公式为：
要求向量a和向量b的行列数相同。 -
Mat矩阵的dot方法扩展了一维向量的点乘操作，把整个Mat矩阵扩展成一个行（列）向量，之后执行向量的点乘运算，仍然要求参与dot运算的两个Mat矩阵的行列数完全一致；
-
dot方法声明中显示返回值是double，所以A.dot(B)结果是一个double类型数据，不是Mat矩阵，不能把A.dot(B)结果赋值给Mat矩阵。
-
dot操作不对参与运算的矩阵A、B的数据类型做要求，CV_8UC1、CV_32FC1等，可以是任何Opencv定义的类型；
-
若参与dot运算的两个Mat矩阵是多通道的，则计算结果是所有通道单独计算各自.dot之后，再累计的和，结果仍是一个double类型数据。