Codeforces Round #643 (Div. 2) C. Count Triangles-- 差分、前缀和

题意

给你 $A , B , C , D$
问有多少种方法构造出三角形 $(X , Y , Z)$使得 $1≤A ≤ X ≤ B ≤ Y ≤ C ≤ Z ≤ D <= 10^5$

思路

组成三角形的条件是2边之和大于第三边，这里因为 $X≤Y≤Z$
所以只需要 $x+y>z$，所以我们只要知道了 $x+y$的值之后，可以求出 $z$的可行范围，但分别枚举 $x，y$肯定会超时，我们换个思路，直接枚举 $x+y$或者说能得到 $x+y=p$的 $x,y$有多少对，显然当 $x=1时，B ≤ y ≤ C$,所以组成的 $x+y$的值在 $[1+B ,1+C]$区间，当 $x=2时，B ≤ y ≤ C$,所以组成的 $x+y$的值在 $[2+B ,2+C]$区间,显然这些区间重叠到一起之后，对于某个点p的取值就是构成 $x+y=p的x,y$组合个数，然后这部分区间可以通过差分、前缀和求得 $S[]$，此时得到的 $S[i]$表示构成 $x+y=i$的组合对数。然后我们枚举 $z$，对应当前 $z，x+y>z$,所以答案就是 $S[z+1] + S[z+2] + ..... + S[maxn-1]$ 然后这部分的区间值我们同样可以用前缀和来维护，最后 $S[maxn-1] - S[z]$就是答案。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int man = 1e6+10;
#define IOS ios::sync_with_stdio(0)
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
ll sum[man];

int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        //freopen("in.txt", "r", stdin);
        //freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    int a,b,c,d;
    cin >>a >> b >>c >> d;
    for(int i = a;i <= b;i++)sum[i+b]++,sum[i+c+1]--;//区间修改
    for(int i = 1;i < man;i++)sum[i]+=sum[i-1];//所有区间加1，重叠地方累加
    for(int i = 1;i < man;i++)sum[i]+=sum[i-1];//对x+y的数量求一个前缀和，O(1)得到答案
    ll ans = 0;
    for(int i = c;i <= d;i++){
        ans += sum[man-1] - sum[i];
    }    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}