质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。
\([1,N]\) 中的素数大概有 \(N/InN\) 个
I.素数判断
首先，根据定义，我们可以枚举\((1,n)\) 里的数，若存在 \(i\) 使得 \(i|n\) ,
则 \(n\) 是合数，否则 \(n\) 是质数。
但其实不用枚举到 \(n\) , 因为 \(n\) 如果是合数，则其必定有一个小于等于 \(\sqrt{n}\) 的因子。
所以枚举到 \([\sqrt{n}]\) 即可。
bool ifprime(LL x)
{
int i;
for(i=2;i*i<=x;i++)
if(x%i==0)
return false;
return true;
}
常数更小的筛法
把每一个数都表示成 \(6x+y,(x,y\in N)\) 的形式。
那么有
- \(6x+0\) 可以被 2,3,6 整除
- \(6x+1\) 待定
- \(6x+2\) 可以被 2 整除
- \(6x+3\) 可以被 3 整除
- \(6x+4\) 可以被 2 整除
- \(6x+5\) 待定
先判断 \(n\) 能否被 \(2,3\) 整除(假定$n \in [4,+\infty] $)
- 若能则 \(n\) 不是质数
- 否则枚举 \(x \in \{x|x=6k+1,k\in Z\} \cup \{x|x=6k+5,k\in Z\}\) ,判断 \(n\) 能否整除 \(x\)
- \(n \in [1,3]\) 时，特判掉即可。
bool isprime(LL x)
{
if(x==2||x==3) return 1;
if(x%6!=1&&x%6!=5) return 0;
for(int i=5;i*i<=x;i+=6)
if(x%i==0||x%(i+2)==0)
return 0;
return 1;
}
上述算法的实际运行次数大约为 $ \sqrt{n} \div 6$
II.素数筛法
1.朴素筛法
时间复杂度\(O(n^{3/2})\)
很容易想到从1枚举到n，挨个判断是不是素数；
Code：
void Prime()
{
int i,j;
for(i=2;i<=n;i++) {
if(isprime(i))
pm[++tot]=i;
}
return;
}
isprime 函数可参考素数判断的内容。
2.简单筛法
令A为素数，则A*N（N>1;N为自然数）都不是素数，标记为合数。
时间复杂度\(O(nlogn)\)
Code:
const LL N=1e7+5;
int pm[N];
bool tag[N];
int tot;
void Prime()
{
int i,j;
for(i=2;i<=n;i++) {
if(!tag[i])
pm[++tot]=i;
for(j=2*i;j<=n;j+=i)
tag[j]=true;
}
return;
}
优点：稍微改造一下可以标记出 \([1,n]\) 中所有数的约数。
缺点：时间复杂度。
推论：\([1,n]\) 中所有数的约数数量之和约为 \(nlogn\) .
3.Eratosthenes筛法
(埃拉托色尼斯筛法)
埃氏筛法其实是对 2 的优化。
-
若 \(x\) 已经被标记为合数，则不用 \(x\) 去标记其他数。
- 据理：\(x\) 是一个合数，则 \(x\) 起码有两个质因子 \(y\),\(z\)。
- 且 \(y,z<x\) , 观察上述算法流程，可发现所有能被 \(x\) 筛掉的数已经被 \(y,z\) 即 \(x\) 的其他质因子筛掉一遍了。
- 值得一提的是，单用（2和优化1）时，可以标记出 \([1,n]\) 中所有数的质因数。
-
二是 \(i\) 若为素数，则从 \(i*i\) 开始标记合数。
- 据理：对于 任意 \(x \in (i,i*i)\) ,若 \(i|x\) ，则 \(x\) 必有另一个约数 \(<i\) .
- 证明： \(x/i\) 是 \(x\) 的一个约数，且其比 i 小。
- 所以： \((i,i*i)\) 里的数已经被比i小的数标记过了，\(i\) 从 \(i*i\) 开始标记。
Code：
void prime()
{
LL i,j;
for(i=2;i<=n;i++)
{
if(tag[i]) continue; //优化1
pm[++tot]=i;
for(j=i*i;j<=n;j=j+i) //优化2
tag[j]=true;
}
}
上述算法的时间复杂度为：\(O(nloglogn)\).
证明在此：https://www.zhihu.com/question/35112789。
图片来自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/48560969
4.线性筛法
在Eratosthenes筛法的基础上，让每个数最多被其最小质因数筛掉一次；
时间复杂度\(O(n)\)
Code:
void Prime()
{
int i,j;
for(i=2;i<=n;i++) {
if(!tag[i])
pm[++tot]=i;
for(j=1;j<=tot;j++) {
if(i*pm[j]>n) break;
tag[i*pm[j]]=true;
if(i%pm[j]==0)
break;
}
}
return;
}