一天一大 leet(不同的二叉搜索树)难度:中等-Day20200715

题目:

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

抛砖引玉

• 任意一个元素都可以做根节点
• 那遍历数组，分别以每个元素作为根节点计算以其为根节点存在的不同结构树
• 节点数量i:

i(数量)	种类	拆分
i = 0	1
i = 1	1
i = 2	2	拆分节点 0+1+1 1+1+0
i = 3	5	拆分节点 0+1+dp[2] 1+1+1 dp[2]+1+0 其中 存在左节点或者右节点是右两个节点存在的可能只有1中
i = 4	14	拆分节点 0+1+dp[3] 1+1+dp[2] dp[2]+1+1 dp[3]+1+0
i = 5	42	拆分节点 0+1+dp[4] 1+1+dp[3] dp[2]+1+dp[2] dp[3]+1+1 dp[4]+1+0

• 总结规律()：
  dp[i] = dp[0]xdp[i-1] + (dp[1]xdp[i-2]) + (dp[2]xdp[i-3]) + … + (dp[i-3]xdp[2]) + (dp[i-2]xdp[1]) + dp[i-1]*dp[0]

动态规划

• 声明记录值dp数组
• i<2时 填充默认值1

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numTrees = function (n) {
  let dp = Array(n + 1).fill(0)
  dp[0] = 1
  dp[1] = 1
  for (let i = 2; i <= n; ++i) {
    for (let j = 1; j <= i; ++j) {
      dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
    }
  }
  return dp[n]
}

数学

dp[i] = (dp[0]xdp[i-1])x2 + (dp[1]xdp[i-2])x2+(dp[2]xdp[i-3])x2 + … + dp[n/2]x2

dp[i] = (dp[0]xdp[i-1] + dp[1]xdp[i-2] + dp[2]xdp[i-3] + … + dp[n/2])/2

剩下的就交给数学推导吧，数学学不好代码都敲不了，泪崩

$G(n) = \sum_{i=1}^{n}G(i-1)*G(n-i)$

$C_{n+1} = \frac{2(2n+1)}{n+2} C_n\quad$

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numTrees = function (n) {
  let C = 1
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    C = (C * 2 * (2 * i + 1)) / (i + 2)
  }
  return C
}

递归

使用递归改写动态规划

• dp[i],递归拆分直到小于2，小于2则该位置填充默认值1
• dp[i]存在值则说明该节点数量计算过

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numTrees = function (n) {
  let dp = Array(n + 1).fill(0)
  function dpFn(x) {
    if (x == 0 || x == 1) return (dp[x] = 1)
    if (dp[x] > 0) return dp[x]
    for (let i = 0; i < x; i++) {
      dp[x] += dpFn(i) * dpFn(x - i - 1)
    }
    return dp[x]
  }
  return dpFn(n)
}

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