[leetcode每日一题2020/7/30]343. 整数拆分

题目来源于leetcode，解法和思路仅代表个人观点。传送门。
难度：中等
用时：00:30:00（一时没想到，看答案了）

题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

思路

动态规划
对于一个数n，至少要一分为二

1. 如果 (n-i) 和 i 不可拆。那么它的乘积为 (n-i)*i
2. (n-i) 或 i 可能可以 一分为二，那么它的乘积为 (n-i) 的最大乘积与 i的最大乘积。对于枚举1<=i<n，那么它的最大乘积只需要讨论，i 与 (n-i) 的最大乘积
   **设dp[n]为n的拆分之后的最大乘积。**那么n的最大乘积为，不拆的最大乘积与 拆 的最大乘积的最大值。
   $dp[n] = \left. max_{1<=i<n}\{(n-i)*i,i*dp[n-i]\} \right.$

代码

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
	        /*
	        dp[i]表示数字i的最大整数和
	        dp[i] = max(1<=j<i){j*(i-j),j*dp[i-j]}
            */
	        if(n==1 || n==2){
	            return 1;
	        }
	        if(n==3){
	            return 2;
	        }
	        if(n==4){
	            return 4;
	        }
	        int[] dp = new int[n+1];
	        for(int i=1;i<dp.length;i++){
	            for(int j=1;j<i;j++){
	                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
	            }
	        }
	        return dp[n];
	    }
}

算法复杂度

时间复杂度： O(n²)。两个for循环
空间复杂度： O(n)。