天天刷leetcode——343整数拆分

整数拆分

题目描述

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

解题思路

1. 动态规划

设 $dp[i]$ 表示正整数 $i$，被拆分为至少两个正整数后的最大乘积。
那么 $dp[0] = dp[1] = 0$
假设 $i$首先可以拆成 $j$。则有以下两种情况：

• 将 $i$分为 $j$和 $i-j$的，且 $i-j$不能再被分了。此时的乘积就是 $j×(i-j)$
• 将 $i$ 拆分成 $j$和 $i-j$的和，且 $i−j$ 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 $j×dp[i−j]$
  所以， $dp[i] =max(j×(i-j),j×dp[i-j])$。因为j的范围为 $（1，i-1）$, 所以需要遍历j求最大的dp[i]。
  动态转移方程如下：
  $\operatorname{dp}[i]=\max _{1 \leq j<i}\{\max (j \times(i-j), j \times \mathrm{dp}[i-j])\}$

    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for i in range(n+1)]
        # print(dp)
        for i in range(2,n+1):
            for j in range(1,i):
                dp[i] = max(dp[i],j * (i-j),j * dp[i-j])
        return dp[n]

总结：时间复杂度为O(n^2)，不咋优秀

2. 用数学方法解题

有推论：将数字n尽可能以因子3等分时，乘积最大。
推理的具体过程见链接: https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/solution/343-zheng-shu-chai-fen-tan-xin-by-jyd/.
还没写完。。。

references

[1] https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/solution/343-zheng-shu-chai-fen-tan-xin-by-jyd/.
[2] https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/