[群论] 置换群入门 Permutations POJ - 2369

题目链接：Permutations POJ - 2369

题意

给你一个置换P，问当 ${p^k=e （e为单位置换）}$，k的最小真整数解为多少。

题解

稍微了解群论知识，这个题就很好做。在置换群中有这么一个定理，设 ${T^k=e}$ (T为一置换，e为单位置换)，那么k的最小正整数解是T的拆分的所有循环长度的最小公倍数。
所以本题的关键点在于找到所有循环节长度，有两种方法：1.dfs搜索找。2.并查集

代码

并查集解法

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=100+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

int f[maxn],cnt[maxn];
int find(int x)
{
	return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
void init(int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
}
int gcd(int a,int b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
	return a/gcd(a,b)*b;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	init(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin >> x;
		if(find(i)!=find(x)) f[x]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) cnt[find(i)]++;
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(cnt[i])
		{
			ans=lcm(ans,cnt[i]);
		}
	}
	cout << ans << endl;
}

dfs解法

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=100+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

vector<int> g[maxn];
int book[maxn];
int tmp=0;
void dfs(int u,int step)
{
	if(tmp<step) tmp=step;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i];
		if(!book[v])
		{
			book[v]=1;
			dfs(v, step+1);
		}
	}
}
int gcd(int a,int b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
	return a/gcd(a, b)*b;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin >> x;
		g[x].pb(i);
		g[i].pb(x);
	}
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		tmp=0;
		if(!book[i])
		{
			dfs(i, 0);
			ans=lcm(tmp,ans);
		}
	}
	cout << ans << endl;
}