图的概念
图G由顶点集合V(G)和边集合E(G)构成
说明: 对于n个顶点的图,对每个顶点连续编号,即顶点的编号为 0 ~ n-1。通过编号唯一确定一个顶点。
图的基本运算:
- 图的初始化
- 销毁图
- 从顶点 出发深度优先遍历
- 从顶点 出发广度优先遍历
图的基本术语
端点和邻接点
- 无向图:若存在一条边 ->顶点 和顶点 为端点,它们互为邻接点。
- 有向图:若存在一条边 ->顶点 为起始端点(简称起点),顶点 为终止端点(简称终点),它们互为邻接点。
顶点的度、入度和出度
-
无向图:
以顶点 为端点的边数称为该顶点的度。
-
有向图:
以顶点 为终点的入边的数目,称为该顶点的入度。
以顶点 为始点的出边的数目,称为该顶点的出度。
一个顶点的入度与出度和为该顶点的度。
若一个图中有
个顶点和
条边,每个顶点的度为
,则有:
完全图
- 完全无向图:每两个顶点之间都存在着一条边,称为完全无向图,包含
S条边。
- 完全有向图:每个顶点之间都存在着方向相反的两条边,称为完全有向图,包含
条边。
稠密图、稀疏图
当一个图接近完全图时,则称为稠密图。
相反,当一个图含有较少的边数(即当
)时,则称为稀疏图。
子图
设有两个图
和
,若
是
的子集,且
是
的子集,则称
是
的子图。
路径和路径长度
在一个图
中,从顶点
到顶点
的一条路径
。其中所有的
,或者
路径长度是指一条路径上经过的边的数目。
若一条路径上除开始点和结束点可以相同外,其余顶点均不相同,则称此路径为简单路径。
回路或环
若一条路径上的开始点与结束点为同一个顶点,则此路径被称为回路或环。开始点与结束点相同的简单路径被称为简单回路或简单环。
连通、连通图和连通分量
无向图:若从顶点i到顶点j有路径,则称顶点i和j是连通的。
若图中任意两个顶点都连通,则称为连通图,否则称为非连通图。
无向图G中的极大连通子图称为G的连通分量。显然,任何连通图的连通分量只有一个,即本身而非连通图有多个连通分量。
强连通图和强连通分量
有向图:若从顶点i到顶点j有路径,则称从顶点i到j是连通的。
若图G中的任意两个顶点i和j都连通,即从顶点i到j和从顶点j到i都存在路径,则称图G是强连通图。
有向图G中极大强连通子图称为G的强连通分量。显然,强连通图只有一个强连通分量,即本身。非强连通图有多个强连通分量。