2020牛客暑期多校训练营第五场Bogo Sort

Bogo Sort

原题请看这里

题目描述：

今天， $Tonnnny$学习了一种称为 $Bogo$ $Sort$的新算法。 老师给了 $Tonnnny$ $Bogo$ $Sort$的代码：

老师说，函数 $shuffle$是等概率地随机排列长度为 $N$的数组 $a$，这个算法的期望复杂度为 $O(n⋅n!)$。
但是， $Tonnnny$是一个坚定的男孩——他一点也不喜欢随机！ 因此， $Tonnnny$改进了 $Bogo$ $Sort$。 他选择了一个最喜欢的长度为 $N$的排列 $p$，然后用排列 $p$替换随机的 $shuffle$，因此改进的算法， $Tonnnny$ $Sort$，可以解决长度为n的数组的排序问题——至少 $Tonnnny$如此认为。

$Tonnnny$对新算法感到满意，因此决定让您每天给他一个长度为 $N$的不同数组，以使用 $Tonnnny$ $Sort$对其进行排序。您是 $Tonnnny$最好的朋友。 即使您发现该算法有某种错误，也希望让 $Tonnnny$多快乐一会。 给定 $N$和 $p$，您需要计算 $Tonnnny$可以开心的最大天数，因为在那之后，您将不能给 $Tonnnny$一个可以用 $Tonnnny$ $Sort$排序的之前没出现过的数组。答案可能非常大。 $Tonnnny$只喜欢最多 $N$位的数字，因此请改为输出答案 $mod$ $10^N$。

输入描述：

第一行包含一个整数 $N$ $($ $1$ $\leq$ $N$ $\leq$ $10^5$ $)$
第二行包含 $N$个整数，表示一个 $1$， $2$， $\cdots$， $N$的排列

输出描述：

$Tonnnny$满意的最大天数，取余 $10^N$

样例：

样例输入1：

5
1 2 3 4 5

样例输出1：

1

样例输入2：

6
2 3 4 5 6 1

样例输出2：

6

思路：

为啥牛客多校又出置换，这是牛客多校的特色嘛…
咳咳，一看到这道题，我就想到了多校第二场的J题，这题不就是那题的翻版嘛？？？？？？
本题就是置换群的一个应用，先求出所给序列的所有环的个数，然后求出环的周期数，题目要我们求出 $1\sim n$的原数列经过多少次变换后会变回原数列,所以只要求出所有环的周期数的最小公倍数就可以了。
那么问题来了，这个数据范围的 $lcm$求出来可能会爆 $longlong$啊 $!$所以本题还要使用高精度乘法来求解。
任意一对数，它们如果有质因子相同，那么根据 $lcm=a∗b/gcd$可知，它会将公共的部分除掉，相当于对于每个质因子的个数求个 $max$即可。比如有质数 $pr$， $a$= $pr^3$∗… $b$= $pr^5$∗… ，则它们的公共部分是 $pr^ 3$，相乘之后有 $pr^ 8$，除掉后有 $pr^ 5$也就是 $pr^{max(3,5)}$。这样就可以避免高精度除法，只需要用高精乘低精就可以 $AC$
题目所说的取余操作嘛…根本就不会那么大，放出来打酱油的…

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
int n,len=1,w,cnt;
int a[MAXN],v[MAXN],b[MAXN],pr[MAXN],pri[MAXN],ans[MAXN]={0,1};
void mul(int x)
{
    for(int i=1;i<=len;i++) ans[i]*=x;
    for(int i=1;i<len;i++) if(ans[i]>9) ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10;
    while(len<n&&ans[len]>9) ans[len+1]+=ans[len]/10,ans[len++]%=10;
    ans[len+1]=0;
}//高精度乘法：高精乘低精
int main()
{
	for(int i=2;i<MAXN;i++)
		if(!pri[i])
			{
				for(int j=i*2;j<MAXN;j+=i)
					pri[j]=1;
				pr[++cnt]=i;
			}//素数筛
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",a+i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i])
		{
			v[i]=b[++w]=1;
			for(int j=a[i];j!=i;j=a[j])
				v[j]=1,b[w]++;
		}//统计环的个数
	memset(pri,0,sizeof(pri));
	for(int i=1;i<=w;i++)
		for(int j=1,t=0;j<=cnt&&b[i]>1;j++)
		{
			while(b[i]%pr[j]==0){t++;b[i]/=pr[j];}
			pri[pr[j]]=max(pri[pr[j]],t);
			t=0;
		}
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		while(pri[pr[i]]--)
			mul(pr[i]);
	for(int i=len;i>=1;i--)
		printf("%d",ans[i]);
}