前言
本节中的霍夫曼树可以看作最小堆的应用。霍夫曼编码则是霍夫曼（Huffman）设计的一种压缩算法。霍夫曼编码是思想，霍夫曼树是实现。
霍夫曼编码
思想
按照字符出现的频率给字符编码，出现次数高的字符较出现次数少的字符分配的编码短。
如何实现文件压缩（长度变短）？
比如文本是由字符a,b,c,d组成的长度为1000的字符串,如果不压缩，要占1000个字节，8000位。我现在给a、b、c、d分别分配代码00、01、10、11。那么只需要2 * 1000 + 5 * 8+4 * 2 = 2048位。
（其中多出的48位是编码表的长度，符号个数+字符a+字符b+字符c+字符d = 58。00、01、10、11占42位）
定长与变长
刚刚举的例子为定长编码，霍夫曼树表达的是变长编码。我们可以想象这样一种情况，以上一千个字符中，a出现997次，b、c、d各出现1次。如果使用编码（a = 0,b = 11,c=100,d=101）那么只需要997+2+1*2+5 * 8+1+2 * 2+3 = 1049位。
这样编码也引出了一个问题，如何解码？
定长可以每次提出2位，不定长怎么提呢。如果仔细观察的话会发现使用的不定长编码前缀都不相同，可以确保读出的字符唯一。我们可以模仿读出试一下，011100101
第一位 ——0—— a
第二位——1—— 无(读出下一位时加上)
第三位——11——b
第四位——1——无
第五位——10——无
第六位——100——c
第七位——1——无
第八位——10——无
第九位——101——d
解码出唯一的字符串abcd
扩展二叉树
从一颗树的根结点开始，0表示向左移动，1表示向右移动。上述编码可形成一颗扩展二叉树。
WEP
如果说上面的不定长编码有什么性质，那便是在形成的扩展二叉树中，这样编码的树加权外部路径长度(weighted external path length)最短。加的权便是字符出现的频率，出现频率越高的字符，分配的编码越短。上述举例的不定长编码，删除编码表的长度，便是WEP。
L(i)表示从根到达外部结点i的路径长度，F(i)表示字符i出现的频率。
比如下图中{a=7, b=5, c=2, d=4}，分配的编码为{0, 10, 110, 111}
霍夫曼树
霍夫曼树是可以使WEP最小的二叉树中的其中之一。
构建霍夫曼树
原始元素是一个个只有一个结点的二叉树，从根节点中选出频率最低的两个树，作为左孩子和右孩子，它们的父结点的频率是两孩子之和。再继续从根节点中选出频率最低的两个树继续makeTree,直到最后只剩一颗树，便是霍夫曼树。
为什么霍夫曼树WEP最小
利用反证法证明
在上图中，更换不同层级的任意结点的编码会使WEP变大。
实现
/**
HuffmanTree 以及构造树的方法
*/
template <class T>
class Huffman
{
friend BinaryTree<int> HuffmanTree(T[], int);
public:
operator T() const{return weight;}
private:
BinaryTree<int> tree; //使用之前定义的二叉树类
T weight;
};
template <class T>
BinaryTree<int> HuffmanTree(T a[], int n)
{
Huffman<T> *hNode = new Huffman<T>(n+1);
BinaryTree<int> hTree;
BinaryTree<int> emptyTree;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
hTree.makeTree(i, emptyTree, emptyTree); //因为是扩展二叉树，emptyTree为外部节点,且maketree返回一个新对象
hNode->tree = hTree;
hNode->weight = a[i];
}
minHeap<Huffman<T>> heap(1);
heap.initilize(hNode, n, n);
Huffman<T> x,y;
for(i=1; i <= n-1; i++)
{
x= heap.pop();
y = heap.pop();
hTree.makeTree(0,x,y);
x.weight += y.weight;
x.tree = hTree;
heap.push(x);
delete x.tree; // makeTree产生的是新对象，所以合并前的对象需要手动释放空间。
delete y.tree;
}
// 最后一颗树
x = heap.pop();
return x.tree;
}
时间复杂度
创建hNode需要时间O(n),第一个for循环需要时间O(n)。在第二个for循环中，有2(n-1)次的pop()操作，和(n-1)次的push操作，时间复杂度为O(nlogn)。构造huffmanTree总时间为O(nlogn)。