最近写到快速幂的算法题,就比如313,按照之前的做法无非不是写个循环模拟计算,对于指数较小的情况的确可以完成,倘若指数过于大,程序会超时,此时就需要运用到快速幂的方法:
正常情况下的计算时间复杂程度为O(n),a^n=a * a * a…* a(n个a)
但a和n过于大时我们可以换种思路,我们知道a^n * a^m = a^(m+n),
而我们所用的快速幂的方法就是按指数的二进制来划分新的任务。
用313作为例子,13 = (1101)2,我们同时也不难发现
313 = 3(1101)2 = 38 * 34 * 31
因为n有|log2n|+1个二进制位,由上面不难看出我们只需要计算O(logn)次就可以计算出结果,所以其时间复杂程度页大大降低。
同时观察上面例子我们也不难发现,结果都是2k相乘
31 = 3
32 = (31)2
34 = (32)2
38 = (34)2
而从上面我们也可以看出除了第一个,后面任意一个元素都是其前一个元素的平方,同时在例子中参与相乘的元素都是二进位为1的整系数幂。
于是我们可以写出代码:
int QuickPow(int x , int y)//传入底数和指数
{
int res = x;//底数
int ans = 1;//结果的初始值
while(y)
{
if(y & 1)//位运算,将y的二进制的尾数参与运算,
//二进位都为1结果为1,否则为0
{
ans = ans * res;
}
res = res * res;//下一元素为上一元素的平方
y = y >> 1;//右位移操作
}
return ans;
}
当然很多时候幂运算结果过于大所以题目有时会采取取模操作,这时的大数快速幂道理也是一样,可由上面的结论进行转换。
有数学定理这样定义:(a^b)%c = ((a%c)^b)%c
由次我们可以写出代码:
int QuickPow(int a,int b,int c)//传入底数,指数和模
{
int ans = 1;//结果初始为1
int res = a;//底数
res = res % c;//先对底数取模一次
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = (ans *res)%c;//注意取模防止溢出
}
b = b >> 1;
res = (res * res)%c;//同样取模防止溢出
}
return ans;
}
以上便是我对快速幂的理解,如果有什么错误请大家指出,共同进步!!!