prufer序列入门

prufer序列

引入

• 如何为有标号无根树判重？
• 这里可以用到prufer序列——

初识

• prufer序列是与无根树对应的序列。
• 每一棵无根树（点数 $n≥2$）都可以得到与其唯一对应的序列，且序列长度为 $n-2$，
• 通过特定的方式，可以将无根树转为prufer序列，
• 也可以通过prufer序列和确定的点集，还原一棵无根树。

操作

一、无根树转prufer序列

• 每次选取当前度数为 $1$且编号最小的点（以保证序列唯一性），将与其相连的点（只有一个）的编号加入prufer序列中，并将该点（指选取的这个点，不是与它相连的这个点）删除。
• 直到树上只剩两个点时停止操作，此时得到长度为 $n-2$的prufer序列。
• 例如一个无根树，边集为 $\{ (1,2),(2.3),(1,4),(4,5),(4,6)\}$，
• 选择 $3$号点，此时序列为 $\{2\}$
• 选择 $2$号点，此时序列为 $\{2,1\}$
• 选择 $1$号点，此时序列为 $\{2,1,4\}$
• 选择 $5$号点，此时序列为 $\{2,1,4,4\}$
• 此时操作结束。

二、prufer序列转无根树

• 每次选择不在prufer序列且在点集中的编号最小的点，将其与prufer序列的第一项连边，并将prufer序列的第一项删除，点集中选择的这个点删除。
• 最后prufer序列为空时，再将点集中剩下的两个点连边。
• 例如上文的prufer序列 $\{2,1,4,4\}$，点集为 $\{1,2,3,4,5,6\}$，
• 选出 $2$和 $3$号点连边，此时序列为 $\{1,4,4\}$，点集为 $\{1,2,4,5,6\}$，
• 选出 $1$和 $2$号点连边，此时序列为 $\{4,4\}$，点集为 $\{1,4,5,6\}$，
• 选出 $4$和 $1$号点连边，此时序列为 $\{4\}$，点集为 $\{4,5,6\}$，
• 选出 $4$和 $5$号点连边，此时序列为 $\{\}$，点集为 $\{4,6\}$，
• 最后再将 $4$和 $6$号点连边，
• 此时完全还原一棵树。

性质

一、关于唯一性

• 在初始部分提到过的，无根树和prufer序列一一对应。

二、关于点的度数

• 通过构造过程可知，每个点在度数为 $1$时被删去，其余时刻被加入prufer序列一次则它的度数减少一。
• 所以每个点在prufer序列中的出现次数为它的度数 $d-1$。

三、无根树的计数（一）

• 点集大小为 $n$时，prufer序列长度为 $n-2$，意味着序列中每个数的可能有 $n$种，则整个序列的构造方案有 $n^{n-2}$种，
• 再根据prufer序列和无根树一一对应，则点集为 $n$的带标号无根树的构造方案有 $n^{n-2}$种，即 $n$个点构成的完全图中，生成树的个数为 $n^{n-2}$。

四、无根树的计数（二）

• 点集大小为 $n$，且每个点的度数 $d_{1~n}$确定时，则每个数在prufer序列中出现次数确定，
• 那么prufer序列的构造方案为 $(n-2)!$再去掉同一个数重复的情况，就是 $\frac{(n-2)!}{\Pi (d_i-1)!}$。

应用

• 一般来说，prufer序列用于方便树的计数，对于树的形态重复的判定可以转化为prufer序列重复的判定，大大方便计算。
• 利用性质二，关于对点的度数有限制的树的计数，也可以联想到转化为prufer序列构造的方案数。

例题

• 直接转化为prufer序列的计数，设 $f_{i,j,k}$表示选到第 $i$个点，用了 $j$个点，在prufer序列中加入了 $k$个数的方案数，转移时枚举当前点选或不选，选的话选加入几个进prufer序列中（加入 $0$个也算选，注意上限为 $a_i-1$），然后用组合数计算更新后的方案数：
• $f_{i,j,k} = f_{i-1,j,k}+\Sigma_{l=0}^{a_i-1} f_{i-1,j-1,k-l} × {k \choose l}$
• 时间复杂度 $O(Tn^4)$。