C. Cyclic Permutations(构造或者图)

对于每个 $i$,如果存在这样的 $q$和 $w$

$q是i左边第一个比a_i大的下标$

$w是i右边第一个比a_i大的下标$

$那么容易证明q和w有边,也就是构成了环$

证明

$因为(q,i]中没有比a_i大的,[i,w)中没有比a_i大的$

$而a_q和a_w就是[q,w]中最大和次大,必定连边$

证毕

$\color{Red}Ⅰ.方法一:组合构造$

但是直接考虑存在环的情况比较复杂,考虑不存在环的情况

不存在环,就是对于每个 $i$不能同时向左右连边

也就是有么只有左边有数比它大,要么只有右边有数比它大

换言之就是要么左边都比自己小,要么右边都比自己小

$\color{Red}这其实构成了一个单峰函数$

前面一直递增到峰值 $n$,后面一直递减

$\color{Red}Ⅱ.方法二:思维,图$

$注意到这样一个事实,除了n这个特殊的数$

$其他数都有比自己大的数,也就是一定会至少往外连一条边$

$这样就就必定会连n-1条边,构成一颗树$

$在树的基础上,无论多加任何一条边都会形成环$

$那么想构成树,每个数比自己大的数都落在自己的一侧(保证只向一侧连边)$

$再次得到结论,前面递增到n,后面递减$

于是你可以写出这样一个程序计算

fac[0]=1;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)	fac[i]=fac[i-1]*i%mod;//阶乘
for(int i=1;i<=n;i++)//枚举n放在第i个位置
{
	//c是组合数
	int temp= c(n-1,i-1)%mod;//那么从剩下的n-1个数选i-1个递增放到前面,剩下的数递减放到后面
	ans=(ans+temp)%mod;
}

$这样当然能过,但是还是讲一下另一种方法$

$对于[1,n-1]每个元素,都有两种选择$

$把这个数放在n前面或者放在后面$

$所以直接是2^{n-1}种无环的放法$

$那么有环方法就是n!-2^{n-1}$

(感觉讲的还算详细,给个赞嘛(不然下次没动力写了呜呜))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int mod=1e9+7;
char a[109][109];
int fac[1000009];
int quick_pow(int x,int n)
{
	int ans=1;
	while( n )
	{
		if( n&1 )	ans=ans*x%mod;
		n>>=1;
		x=x*x%mod;
	}
	return ans;
}
int c(int n,int m)
{
	if( m==0 )	return 1; 
	return fac[n]*quick_pow(fac[n-m]*fac[m]%mod,mod-2)%mod;
}
signed main()
{
	int n;
	cin >> n;
	fac[0]=1;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int temp= c(n-1,i-1)%mod;
		ans=(ans+temp)%mod;
	}
	cout << (fac[n]-ans+mod)%mod;
}