0-1背包问题及python实现
1. 问题提出
0-1背包问题是动态规划中入门的经典题型，掌握0-1背包问题背后的本质有助于更好地理解动态规划问题，话不多说，首先来看看0-1背包问题究竟是什么吧~
问题描述：设有n件物品x1, x2, …, xn，每件物品有一个价值和一个重量，分别记为v1, v2, …, vn和w1, w2, …, wn，其中所有的wi均为整数。现有一个背包，其最大载重量为m，要求从这n件物品中任取若干件（这些物品要么被装入要么被留下）。问背包中装入哪些物品可是得所装物品的价值和最大？
样例1输入：m=11, n=6
| 物体编号i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 物体重量wi | 2 | 4 | 5 | 6 | 10 | 3 |
| 物体价值vi | 1 | 7 | 4 | 5 | 11 | 1 |
样例1输出：12
2. 递归实现暴力枚举
在不考虑时间的情况下，暴力枚举是一个很直观的方法，也就是枚举所有可能装入背包的物品组合，找出价值和最大的组合，只不过这里我们是用递归的方式来实现这个枚举。
我们首先定义递归函数backpack(i, w)，它表示在0至i号物品中，载重量为w时的所有可行方案的最大价值和，那么很容易得到递归关系式：backpack(i, w) = max{backpack(i - 1, w - wi) + vi, backpack(i - 1, w)}，也就是在0至i号物品中，载重量为w的最大价值和等于0至i-1号物品中，载重量为w-wi的最大价值和加上vi的值和0至i-1号物品中，载重量为w的最大价值和中的较大值，python代码如下。
def backpack(i, w):
global weight, value
if w < 0:
return -float("inf")
if i < 0:
return 0
return max(backpack(i-1, w-weight[i])+value[i], backpack(i-1, w))
m, n = 11, 6
weight = [2, 4, 5, 6, 10, 3]
value = [1, 7, 4, 5, 11, 1]
print(backpack(n-1, m))
3. 带备忘递归
很显然，暴力枚举的复杂度是十分高的，那么我们可以如何去优化这个暴力枚举的复杂度呢？我们从一种简单的特殊情况来分析，假设0至n号物品的重量均为c，那么我们可以得到以下的递归树。
很显然，在经过2层递归后，就出现了重复的子问题backpack(n-2, w-c)，并且继续递归下去，重复的子问题会越来越多。因此，我们可以构造一个备忘录，对于重复求解的问题，计算一次后记入备忘录，下次遇到相同的问题，只需要从备忘录中查询就行。python代码也只需要在原先的基础上做简单的变动即可。
def backpack(i, w):
global weight, value, p
if w < 0:
return -float("inf")
if i < 0:
return 0
if p[i][w]:
return p[i][w]
p[i][w] = max(backpack(i-1, w-weight[i])+value[i], backpack(i-1, w))
return p[i][w]
m, n = 11, 6
weight = [2, 4, 5, 6, 10, 3]
value = [1, 7, 4, 5, 11, 1]
p = [[None for j in range(m + 1)] for i in range(n)]
print(backpack(n - 1, m))
4. 动态规划
因为递归毕竟是递归，它的计算过程肯定首先是自顶向下递归到最原始的单一问题，之后再通过自底向上的递推过程，计算每一步的解，最终回归到了最初的问题。那么我是否们能够通过这个备忘录的数组直接自底向上计算呢？
答案当然是可以的，那就是动态规划。我们可以通过递推关系公式p[i, w]=max{p[i-1, w-weight[i]]+value[i], p[i-1, w]}来逐行逐行的填充这个数组，最终数组最右下角的值就是最大价值和。
| p[i, w] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 11 | 11 | 12 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 11 | 12 | 12 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 1 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 11 | 12 | 12 |
| 5 | 0 | 0 | 1 | 1 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 11 | 12 | 12 |
现在我们已经得到了最大价值，还有一个问题，那就是到底选择了哪些物品能够获得这个最大价值？我们可以用rec数组记录下决策过程，在填充p[i, j]时，如果选择了i商品，则rec[i, j]=1；反之，rec[i, j]=0。然后我们可以用rec数组来追踪最优解，一行一行往回倒推，当rec[i, j]=1时，选择商品i，考察子问题p[i-1, w-weight[i]]；当rec[i, j]=0时，不选商品i，考察子问题p[i-1, c]。
以样例1为例，rec[5, 11]=0，说明没有选择5号商品，则rec[5, 11]是由rec[4, 11]推导而来的；再看rec[4, 11]=0，说明也没有选择4号商品，则rec[4, 11]是由rec[3, 11]推导而来的；再看rec[3, 11]=0，说明也没有选择3号商品，则rec[3, 11]是由rec[2, 11]推导而来的；再看rec[2, 11]=1，说明选择了2号商品，则rec[2, 11]是由rec[1, 11-weight[2]]即rec[1, 6]推导而来的；再看rec[1, 6]=1，说明也选择了1号商品，则rec[1, 6]是由rec[0, 6-weight[1]]即rec[0, 2]推导而来的；再看rec[0, 2]=1，说明也选择了0号商品。
| rec[i, w] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
于是，python的代码也就比较容易得到了。
w, n = 11, 6
weight = [2, 4, 5, 6, 10, 3]
value = [1, 7, 4, 5, 11, 1]
p = [[0 for j in range(w + 1)] for i in range(n)]
rec = [[0 for j in range(w + 1)] for i in range(n)]
for j in range(w + 1):
if weight[0] <= j:
p[0][j] = value[0]
rec[0][j] = 1
for i in range(1, n):
for j in range(w + 1):
if weight[i] <= j and value[i] + p[i-1][j-weight[i]] > p[i-1][j]:
p[i][j] = value[i] + p[i-1][j-weight[i]]
rec[i][j] = 1
else:
p[i][j] = p[i-1][j]
print(p[n-1][w])
print("choose item ", end="")
tmp = w
for i in range(n-1, -1, -1):
if rec[i][tmp] == 1:
print(i, end=" ")
tmp -= weight[i]
5. 总结
动态规划算法的本质就是把原始问题分解成子问题，并寻找小问题和大问题之间的关系，从小问题向大问题的规模去扩展，最后达到最优解。总的来说，动态规划算法可以分解为4个步骤：
- 问题结构分析：描述一个最优解的结构；
- 递推关系建立：递推地定义最优解的值；
- 自底向上计算：以“自底向上”的方式计算最优解的值；
- 最优方案追踪：从已计算的信息中构建出最优解的路径。
在本题中，问题结构分析就是给出0-1背包问题的表现形式，也就是p[n-1, w]表示在0至n-1号物品中，载重量为w时的所有可行方案的最大价值和；递推关系建立需要去分析最优子结构（最优子结构性质就是指问题的最优解由相关子问题最优解组合而成，子问题可以独立求解），在本题中，是否取第i件商品就构成了原问题的两个相关子问题，然后两个相关子问题的最优解的较大值也就是原问题的最优解，于是递推关系也就得到了，p[i, w]=max{p[i-1, w-weight[i]]+value[i], p[i-1, w]}；再得到递推关系后，自底向上计算就很容易了，只要在初始化后，根据递推关系公式就可以依次求解问题了；如果需要输出最优方案，那么就需要使用rec数组来追踪最优方案，rec数组记录了决策的过程。