信号采样、调制与搬移—对奈奎斯特定理的讨论

1 理论

1.1 实信号与虚信号的区别¹

实信号存在负频率，但是虚信号没有。因而下面实信号的带宽是500Hz，虚信号的带宽是150Hz。根据奈奎斯特采样定理，fs=2B才可以保证信号不失真。定理对于虚信号有效，对于实信号只需要fs=B即可。
虚信号

实信号

采样前后的对比，此时采样率为3000Hz，因而在右图中最高频率与最低频率之间相差3000Hz。

这里另外介绍一个概念：实采样与复采样。
不违反。LTE系统中进行的是复采样（complex-valued sampling），包含幅度和相位两个信息，也就是说每一个采样点的值y=A+jB实际上是两个正交值的叠加，故带宽为20M的系统只需要20M的采样速率。而课本中通常讲的是实采样（real-valued sampling）。
那么在代码里应该都是复采样。下图用采样率210Hz对B为200Hz的信号（复数信号）进行采样。

那么如何在代码中进行实采样？待补充。

1.2 成型滤波器的影响

对于升余弦滚降成型滤波器，假设采样倍数为4倍。滤波器首先进行4倍上采样，然后卷积滤波处理。上采样会导致信号频谱图产生周期性的重叠（上采样的特点），如右图；滤波处理后如左图。

1.3 频谱搬移

频率向右搬移100Hz，代码在第二部分，结果如下图所示：

2 代码

仿真验证代码如下图所示：

clear;close all;
% ----------------------------------------------------------------------
%  step 1 生成信号
% ------------------------------------------------------------
sr = 1000;                       % 符号率，1s内符号点的个数(决定了时钟)
t = 1:1/sr:10;                  % 针对函数的时钟
f_sig = [100:0.5:250 ];           % 实在
sig = 0;
sigmode = 'real';
switch sigmode
    case 'real'
        for i = 1:length(f_sig)
            sig = sig + sin(2*pi*f_sig(i)*t)*(1+1j);          % 模拟OFDM信号
        end
    case 'imag'
        for i = 1:length(f_sig)
            sig = sig + exp(1j*2*pi*f_sig(i)*t);
        end
end

f_B = max(f_sig)-min(f_sig);                        % 频率，同时也是带宽B
% figure;plot(t,sig);hold on
% 为什么符号率和信号带宽没关系？因为这是sin信号
% 如果对于普通的调制信号（QPSK或者BPSK），那么信号的带宽B就是sr/2，所以采样的话，只需要2*B=sr就可以采样。
% 为什么？因为实信号与复信号之间的区别
% ------------------------------------------------
% step 2 线性插值+采样
% ------------------------------------------------
t_BS = 20;                       % 模拟采样偏差，时钟偏差(前后的采样时钟不准确)(这个具体怎么理解？)
fs   = t_BS*f_B;                % 采样频率 >2B
% fs   = 500;                     % 采样频率
t_cy = 1:1/fs:10;               % 采样的时钟
sig_fj = interp1(t,sig,t_cy,'spline');      % 采样的函数
% -----------------------------------------------
% fft 实际信号的频谱
NN = length(sig);figure;plot((-NN/2+1:NN/2)/NN*sr,20*log10(abs(fftshift(fft(sig)))));axis([-inf,inf,-inf,inf]);xlabel('fs Hz');ylabel('幅度谱 dB')
% fft 采样后的频谱
NN = length(sig_fj);figure;plot((-NN/2+1:NN/2)/NN*fs,20*log10(abs(fftshift(fft(sig_fj)))));title('采样后');axis([-inf,inf,-inf,inf]);xlabel('fs Hz');ylabel('幅度谱 dB')
% ------------------------------------------------
% 频谱搬移

delta_f = 100;                   % 需要搬移的频率，也可以认为是频偏(正表示向右边搬移)
sig_by = sig.*exp(1j*2*pi*delta_f/sr.*(1:length(sig)));     % 频谱搬移
NN = length(sig_by);figure;plot((-NN/2+1:NN/2)/NN*sr,20*log10(abs(fftshift(fft(sig_by)))));
% ----------------------------------------------------------------------
% FPGA对于样点的处理
% ------------------------------------------------------------
% 成型滤波 
alfa  = 0.35;               % 滚降
delay = 6;                  % 延时
Ns    = 4;                     % 滤波成型倍数
fs2   = Ns*sr;                % 另一种采样
HopSendOutRcos = rcosflt(sig,sr,fs2,'fir/sqrt',alfa,delay); % 升余弦成型
HopSendOutRcos = HopSendOutRcos.';
NN = length(HopSendOutRcos);figure;plot((-NN/2+1:NN/2)/NN*fs2,20*log10(abs(fftshift(fft(HopSendOutRcos)))));title('滤波成型后');axis([-inf,inf,-inf,inf])
% 上采样，产生周期性延展，相当于把信号变成离散的，离散信号的频谱是周期性延展的
sigUpsam = upsample(sig,Ns);        
NN = length(sigUpsam);figure;plot((-NN/2+1:NN/2)/NN*fs2,20*log10(abs(fftshift(fft(sigUpsam)))));title('滤波成型后');axis([-inf,inf,-inf,inf])
% 
% % 滤波后与原信号重合
% % -------------------------------------------------------------
% 接收机部分的ADC芯片对模拟信号在采样上的偏差
offset = 1*sr/4;
samplefre = fs2 + offset;
time1 =fs2/samplefre.*(1:length(HopSendOutRcos));
signalsample = interp1((1:length(HopSendOutRcos)),HopSendOutRcos,time1,'spline');  
NN = length(signalsample);figure;plot((-NN/2+1:NN/2)/NN*fs2,20*log10(abs(fftshift(fft(signalsample)))));title('加上ADC采样偏差后')

3 频谱对调及解决方法²

3.1 问题描述

950MHz混频2000MHz得到1050MHz，951MHz混频2000MHz得到1049MHz？

3.2 问题分析

假设发送的频率为 $f_{1}$ ，则我们发送的射频信号为 $(I+j Q) \times\left(\cos 2 \pi f_{1} t+j \sin 2 \pi f_{1} t\right)$ ，这个信号是一个单频谱信号，也即没有负半轴的频谱，但是实际中，我们发射的信号为：
$\operatorname{real}\left[(I+j Q) \times\left(\cos 2 \pi f_{1} t+j \sin 2 \pi f_{1} t\right)\right]=I \cos 2 \pi f_{1} t-Q \sin 2 \pi f_{1} t$
这是一个实信号，所以空中的这个实信号必然会有正负半轴的对称谱出现，也即如下图所示
按照上面的理论，经过2000MHz混频后，信号的频谱为：

而我们对上述信号选取了1049MHz到1050MHz频谱的信号进入基带处理，可知，我们取了实信号 $I \cos 2 \pi f_{1} t-Q \sin 2 \pi f_{1} t$ 的负半轴频谱进行处理，也即，我们收到的信号与我们发送的信号（发送的信号实际就是我们的正半轴频谱）颠倒了。

3.3 公式推导

从以上分析可以知道，我们收到的信号时负半轴频谱，这里先补充一下知识，假设收到的信号为X收，则取正半轴谱时应使用如下公式：
$X_{4 k} \times\left(\cos 2 \pi f_{1} t-j \sin 2 \pi f_{1} t\right)$
取负半轴谱时应使用如下公式：
$X_{4 k} \times\left(\cos 2 \pi f_{1} t+j \sin 2 \pi f_{1} t\right)$
按照上面的分析，我们取的是负半轴的信号，所以这里对接收到的信号混频到基带应为：
$\begin{aligned} &\left(I \cos 2 \pi f_{1} t-Q \sin 2 \pi f_{1} t\right) \times\left(\cos 2 \pi f_{1} t+j \sin 2 \pi f_{1} t\right) \\=&\left[I \cos ^{2} 2 \pi f_{1} t-Q \sin 2 \pi f_{1} t \cos 2 \pi f_{1} t\right]+j\left[I \cos 2 \pi f_{1} t \sin 2 \pi f_{1} t-Q \sin ^{2} 2 \pi f_{1} t\right] \end{aligned}$
推导：
$\begin{aligned} &\left(I \cos 2 \pi f_{1} t-Q \sin 2 \pi f_{1} t\right) \times\left(\cos 2 \pi f_{1} t+j \sin 2 \pi f_{1} t\right) \\=&\left[I \cos ^{2} 2 \pi f_{1} t-Q \sin 2 \pi f_{1} t \cos 2 \pi f_{1} t\right]+j\left[I \cos 2 \pi f_{1} t \sin 2 \pi f_{1} t-Q \sin ^{2} 2 \pi f_{1} t\right] \\=& \frac{1}{2}\left[I\left(1+\cos 2 \pi 2 f_{1} t\right)-Q \sin 2 \pi 2 f_{1} t\right]+\frac{1}{2} j\left[I \sin 2 \pi 2 f_{1} t-Q\left(1-\cos 2 \pi 2 f_{1} t\right)\right] \end{aligned}$
通过低通滤波器去掉高频分量后上述信号便为：
$\frac{I}{2}-j \frac{Q}{2}$

3.4 基带信号处理流程

https://blog.csdn.net/zj15527620802/article/details/81274510 ↩︎
张少侃「频谱分析及对调方法」 ↩︎