离散信号（六）| 非周期信号 | 离散时间傅里叶变换（DTFT）+ DTFT、DFS及CTFT之间的关系

非周期信号的频域分析

与连续信号类似，对于离散的非周期信号，可采用离散时间傅里叶变换（DTFT）进行分析。

（一）从DFS到DTFT

非周期序列可以看作周期为无穷大的周期序列，从这一思想出发，可以在周期序列的傅里叶级数DFS基础上推导非周期序列的傅里叶变换。类似连续信号，对于长度有限的非周期信号 $x(n)$，以N为周期，将 $x(n)$延拓为周期信号 $x_N(n)$，这里，要求N大于 $x(n)$的长度，因为此时 $x_N(n)$是 $x(n)$的原样按周期重复，即
$x_N(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(n-mN) \tag{5}$
对于周期序列 $x_N(n)$的DFS，考虑周期为无穷大是，即 $N\to \infty$，则有 $\Omega_0=2\pi/N\to d\Omega,k\Omega_0\to \Omega=wT$（为连续量）, $\frac{1}{N}=\frac{\Omega_0}{2\pi}\to \frac{d\Omega}{2\pi},\sum_{k=0}^{N-1}\to \int_0^{2\pi},x_N(n)\to x(n)$；同时，由上面的描述刻可知，当k在0和N-1之间变化时， $\Omega$在0和 $2\pi$之间变换。另外，由式（5），当 $N\to \infty$时， $X(k\Omega_0)$的幅值趋于无穷小，如同连续时间信号的傅里叶变换一样处理，利用频谱密度来描述非周期序列频谱的分布规律，可得
$X(\Omega)=lim_{N\to \infty}NX(k\Omega_0)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}x(n)e^{-j\Omega n} \tag{6}$
和
$x(n)=\lim_{N\to \infty}x_N(n)=lim_{N\to \infty}\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n}=lim_{N\to \infty} \sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N}X(\Omega)e^{j\Omega n}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}X(\Omega)e^{j\Omega n}d\Omega$
即
$x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}X(\Omega)e^{j\Omega n}d\Omega \tag{7}$
其中，式（6）称为离散时间信号的傅里叶变换，简称为离散时间傅里叶变换DTFT，式（7）则为离散时间傅里叶反变换。

$X(\Omega)$是变量 $\Omega$的周期函数，周期为 $2\pi$。因为对任意整数q有
$X(\Omega+2\pi q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j(\Omega+2\pi q)n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\Omega n}=X(\Omega)$
通常称满足式（6）和式（7）的 $x(n)$和 $X(\Omega)$为离散时间傅里叶变换（DTFT）对，并将它们简记为
$x(n) \overset{DTFT}{\leftrightarrow} X(\Omega)$
由上讨论，已知 $X(\Omega)$是数字频率 $\Omega$的周期函数，周期为 $2\pi$，所以式（6）可以看成是 $X(\Omega)$在频域展开为傅里叶级数的表示式， $x(n)$是该级数的系数。它与在时域把一个周期信号展开为傅里叶级数的表示相似，不同的是复指数符号相反。式（7）把序列 $x(n)$分解为复指数序列的线性组合，所以是非周期序列时域分析的表示式。这些复指数序列在频率上无限密集，无限靠近，它们的幅度等于 $[X(\Omega)d\Omega/(2\pi)]$，式中 $X(\Omega)$是频谱密度序列，反映了非周期序列 $x(n)$的基本特征，简称为 $x(n)$的频谱。 $x(n)$持续时间可以是有限长序列也可以是无限长序列，但在无限长情况下，必须考虑式（6）无限项求和的收敛问题。因此DTFT存在条件与连续信号的傅里叶变换（CTFT）相对应，为了保证和式收敛，要求 $x(n)$是绝对可和，即
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty$
或序列的能量是有限的，即
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2<\infty$
（二）DTFT与DFS及连续信号傅里叶变换（CTFT）之间的关系

从DTFT的推导过程，说明DTFT是DFS当 $N\to \infty$的极限情况，它们的共同点是：在时域它们都是离散的，在频域其频谱都是以 $2\pi$为周期，周而复始。不同点是：离散时间周期信号的频谱则是离散的具有谐波性， $X(k\Omega_0)$是谐波的复振幅，适用于计算机计算，而离散时间非周期信号的频谱则是连续的频谱，不具有谐波性， $X(\Omega)$表示的是频谱密度，是连续变量 $\Omega$的函数，所以不利于利用计算机对频谱进行分析。

DTFT与CTFT有着密切的内在联系。它们的共同点是：在时域，它们的波形均为非周期，在频域， $X(w)$与 $X(\Omega)$均表示频谱密度，分别为连续变量 $w$及 $\Omega$的函数，所以都是连续频谱。而且在满足采样定理的约束条件下， $X(\Omega)$保存 $X(w)$的全部信息。不同点是： $X(\Omega)$是周期性而 $X(w)$是非周期的频谱，因而在求 $x(n)$的公式中只在频域的的一个周期区间 $[0,2\pi]$（或 $[-\pi,\pi]$）内积分，而在求 $x(t)$的公式中积分区间为 $[-\infty,\infty]$。再则由于离散时间信号是离散的，所以DTFT中 $X(\Omega)$的表示式是求和式，而CTFT中 $X(w)$的表示式是求积分的变换式。

DTFT与CTFT都是傅里叶变换，必然可以从DTFT求CTFT。特别当离散时间信号是从连续时间信号采样得来时，更有实际意义。为了使计算结果尽量逼近原始的连续信号的频谱，正如采样定理及上面混叠与泄露中所分析的，必须根据信号特点恰当地选取采样频率及截取采样信号的长度，以减少混叠误差与泄露误差带来的影响。