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图论
一、图的基本概念
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物之间具有这种关系。
一个图可以用数学语言描述为G(V(G),E(G))。V(vertex)指的是图的顶点集，E(edge)指的是图的边集。
根据是否有方向，可将图分为有向图和无向图（有向图的特例，无向图可以看作边全为双向箭头的有向图）。另外，有些图的边上还可能有权值，这样的图称为有权图。
二、制图方法
1. 利用制图网站
CS Academy简单易操作。（强烈推荐）
2. Matlab作图
G1 = graph(s1,t1);
plot(G1)
//graph(s,t)函数可以在s和t中的对应节点之间建立边，并生成一个图。
//s,t都是矩阵，且必须具有相同的元素数，这些节点必须都是从1开始的正整数（中括号），或都是字符串元胞数组（大括号）。
G2 = graph(s,t,w);
plot(G2)
//graph(s,t,w)可以在s和t中对应节点之间以w为权重创建边，并生成一个图。
//s,t都是矩阵，且必须具有相同的元素数，这些节点必须都是从1开始的正整数（中括号），或都是字符串元胞数组（大括号）。
plot(G2,'linewidth',2)
//设置线的宽度,此时不会显示权重
plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight,'linewidth',2)
//显示带有权重的图
注意：编号最好是从1开始连续编号，不要自己随便定义编号，并顺带以下代码。
有向图的制图代码：有向图和无向图在代码中的区别在于graph和digraph
set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);
//此命令是在画图后不显示坐标的函数
myplot=plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight,'linewidth',2);
//首先将图赋给一个变量
hightlight(myplot,P,'EdgeColor','r')
//在图形中用红色高亮最短路径
三、权重邻接矩阵
1.无向图的权重邻接矩阵
- 无向图对应的权重邻接矩阵D是一个对称矩阵
- 其主对角线上元素为0
- D_ij表示第i个节点到第j个节点的权重
- 表示两节点之间无边
2.有向图的权重邻接矩阵
- 有向图对应的权重邻接矩阵D一般不再是对称矩阵
- 其主对角线上元素为0
- D_ij表示第i个节点到第j个节点的权重
- 表示两节点之间无边
四、迪杰斯特拉算法
目的：
求解最短距离，迪杰斯特拉算法是最短距离算法的一种。
缺点：
没有办法处理负权重
具体讲解：
图论最短距离(Shortest Path)算法动画演示-Dijkstra(迪杰斯特拉)和Floyd(弗洛伊德)
优化算法（解决负权重的算法）：
贝尔曼-福特算法(Bellman–Ford algorithm )油管最好的三个讲解
贝尔曼福特算法一定程度上解决了迪杰斯特拉算法的缺点，即处理了具有负权重的有向图，但是依旧不支持处理拥有负权回路的图
负权回路知识补充：
- 在一个图里每条边都有一个权值（有正有负）。如果存在一个环（从某点出发又回到自己的路径），而且这个环上所有权值之和为负数，那就是一个负权环，也叫负权回路。
- 含有负权重的无向图都是负权回路。
- 存在负权回路的图是不能求两点间最短路径的，因为只要在负权回路不断兜圈子，所得的最短路长度可以任意小。
五、Matlab运用
1.计算最短路径
[p , d] = shortestpath(G,start,end [,'Method',algorithm])
功能：
返回图G中start节点到end节点的最短路径
输入参数：
- G — 输入图（graph对象 | digraph对象）
- start 起始的节点
- end 目标的节点
- [,‘Method’,algorithm]是可选的参数，表示计算最短距离的算法。
对于4中可选的参数如下表格所示：
| 选项 | 说明 |
| 'auto'(默认值) | 'auto'选项会自动选择算法。 |
| 'unweight' | 用于没有边权重的graph和digraph输入，广度优先计算，将所有边权重都视为1。 |
| 'positive' | 用于具有边权重的所有graph输入，并要求权重为非负数。此选项还用于具有非负边权重的digraph输入。（迪杰斯特拉算法） |
| 'mixed'(仅适用于digraph) | 用于其边权重包含某些负值的digraph输入（图不能含有负权回路），适用于有向图的贝尔曼福特算法。 |
输出数据：
- P — 最短路径经过的节点
- d — 最短路径
2.返回任意两点的距离矩阵
D = distances(G [,'Method',algorithm])
//返回任意两点的距离矩阵
D(1,2)
//1到2的最短距离
D(9,4)
//9到4的最短距离
3.找给定范围内所有的点
[nodeIDs,dist] = nearest(G,s,d [, 'Method',algorithm])
返回图形G中与节点s的距离在d之内的所有节点；
nodeIDs是符合条件的节点；
dist是这些节点与s的距离。