【题解】洛谷P1082 [NOIP2012]同余方程（扩展欧几里得算法详解）

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题目

洛谷P1082同余方程

题解

定义gcd(a,b)为a,b的最大公约数（Greatest Common Divisor）。

由欧几里得定理得：

特别地：gcd(a,0)=a

由裴蜀定理得：

扩展欧几里得算法：假设a*x+b*y=gcd(a,b)

1.b=0时，gcd(a,b)=a,解得x=1,y=0

2.b!=0时，假设 

可等价变形为：

与方程a*x+b*y=gcd(a,b)比较得：x=y’,y=x’-(a/b)*y’，不断重复操作，递归改变x,y即可求出一组特解x0,y0。

扩展（本文不作证明）：令d=gcd(a,b),对于更一般的方程a*x+b*y=c,当且仅当d|c时有解。假设根据a*x+b*y=d求出的一组特解为x0,y0,将方程两边同乘（c/d），就得到了原方程的一组特解（c/d）x0,(c/d)y0，原方程的通解为:

本题解法：题中所给的同余方程等价于a*x+b*y=1（y为整数），此题保证有解，因此gcd(a,b)|1,即gcd(a,b)=1。用扩展欧几里得算法求出特解x0,y0，x的通解为x=x0+k*b（k为整数）。注意题中要求最小正整数解。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,x,y;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b) {x=1,y=0; return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ll z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	exgcd(a,b,x,y); //求出特解 
	x=(x%b+b)%b; //求出最小正整数解 
	printf("%lld\n",x); 
	
	return 0;
}