信号完整性分析7——传输线的物理基础

信号完整性分析7——传输线的物理基础

• 传输线定义： 同轴电缆线是一种传输线，多层板中的PCB线条也是一种传输线。

简单地说，传输线是由两条有一定长度的导线组成的。

• 作用： ：在可接受的失真度下， 把信号从一端传输到另—端

• 两个非常重要的特征： 特性阻抗和时延。

信号与传输线的相互作用关系比较特别，与其他三种理想电路元件（电阻、电容和电感）和信号的相互作用截然
不同。

7.1 不再使用“地”这个字

通常，我们将传输线的返回路径当做地线。将第二条线当做地，所引出的问题要比解决的问题多得多。相反，使用返回路径是一个良好的
习惯。

当把另一条路径当做地时，通常将它看成是所有电流的汇合点。返回电流从这一点流入，然后流到另一处有地节点的地方。这是一种完全错误的观点。返回电流是紧靠着信号电流的。前面讲到，高频时．信号路径和返问路径的回路电感要最小化，这就意味着只要导体的情况
允许，返回路径会尽量靠近信号路径分布。再者，由返回电流并不能得到返回路径的绝对电压。实际中．返回路径有时是个电压平面，
如VCC或VDD平面，而有时是一个低电压平面。

7.2 信号

当两条线一样时，如双绞线。信号路径与返回路径没有严格的区分，即可以指定任意一条为信号路径，而另一条为返回路径，如果两条导线不相同，如微带线，则通常把较窄的那条叫做信号路径．而把平面称为返回路径。

信号总是指信号路径和返回路径之间相邻两点的电压。

如果知道信号受到的阻抗，根据信号大小就可以计算出电流。从这个意义上讲，信号可以被定义成电压或电流。

这些普遍的原则适用于所有传输线．无论是单端传输线还是差分传输线。

7.3 均匀传输线

几何结构中有两个基本特征完全决定了传输线的电气特性：它们是 导线沿线横截面的均匀程度 和两导线的相似程度 。

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导线沿线横截面的均匀程度

• 如何定义均匀？： 如果导线上任何一处的横截面都相同，比如同轴电缆，则称这种传输线为均匀传输线

• 均匀传输线也称为可控阻抗传输线。传输线的种类很多，如双引线、微带线、带状线和共面线等。

• 如果传输线是均匀的或者是有可控阻抗的，那么反射就会减小， 信号的质量就会更优。所有的高速互连线都必须设计成均匀传输线。

• 如何定义不均匀？： 整条导线中。若几何结构或材料属性发生变化传输线就是不均匀的。例如，如果两条导线的间距是变化的而不是恒定的， 那么它就是非均匀传输线。非均匀传输线除非走线足够短，否则就会引起信号完整性问题，所以应避免这种情况发生。

在信号完整性的优化设计过程中，其中一个设计目标就是：将所有的互连线都设计成均匀传输线，减小所有非均匀传输线的长度

两导线的相似程度

• 如何定义平衡（是否相似）？： 如果两导线的形状和大小都一样， 即它们是对称的，就称这种传输线为平衡传输线。e.g. 双绞线，共面线

• **非平衡传输线：**同轴电缆（中心导线要比外面的导线小），微带线（两条导线宽度不一样），带状线

一般来说， 绝大多数传输线，无论是平衡的还是非平衡的。它们对信号的质量和串扰效应都完全没有影响， 然而，返回路径的具体结构将严重影响地弹和电磁干扰问题。

7.4 铜中的电子速度

实际常见的铜导线中的电子速度比信号的速度要低100 亿倍。

简单分析略

与空气中的光速相比．导线电子的运动速度简直就是微不足道的所以导线中电子的速度与信号的速度没有任何关系。同样，由分析可知，导线的电阻对传输线上信号的传播速度几乎没有任何影响，只有在一些极端的情况下，互连线的电阻才会影响信号的传播速度。并且这个影响是非常微小的。低电阻并不意味着信号的速度快，必须纠正这个错误的观念

7.5 传输线上的信号速度

什么决定了信号的传播速度？

1. 导体周围的材料
2. 信号在传输线导体周围空间形成的交变电磁场的建立速度
3. 信号在传输线导体周围空间形成的交变电磁场的传播速度

最简单的一种描述信号在传输线上传播的方法

信号就是信号路径与返回路径之间的电压差。当信号线在传输线上传播时，两导线之间就会产生电压，而这个电压又使两导线之间产生电场。除了电压之外，电流必须在信号路径和返回路径上流动，这样使两导线带上了电荷并产生电压差，继而又建立的电场，而两导体之间的电流回路产生了磁场。

实际上，电场和磁场建立的快慢决定了信号的速度这些场场的传播和相互作用可以由麦克斯韦方程来描述。这就是说，只耍电场和磁场在变化，由此而形成的铰链电磁场就向外传播，它的速度取决于一些常量和材料特性。

电磁场的变化速度， 或场链的速度v由下式得到：
$$v=\frac{1}{\sqrt[]{{\epsilon }_0{\epsilon }_r{\mu }_0{\mu }_r}}$$
其中：

${\epsilon }_0$ 表示自由空间的介电常数．其值为8.89×10^-12 F/m

${\epsilon }_r$ 表示材料的相对介电常数

${\mu }_0$ 表示自由空间的导磁率，其值为4π × 10^-7 H/m

${\mu }_r$ 表示材料的相对导磁率（实际上，几乎所有的互连材料的相对导磁率都为1 。所有不含铁磁体材料的聚合物，其导
磁率都为1 。因此，导磁率这一项可以忽略。）

经验法则： 空气中，相对介电常数和相对导磁率都为1, 光的速度为12 in/ns

代入数据，可得：
$$v=\frac{12}{\sqrt[]{{\epsilon }_r{\mu }_r}}\frac{in}{ns}$$
相比之下，除了空气，其他材料的介电常数总是大于1 。所有实际互连材料的介电常数通常都大于1 。这说明互连中的光速总是小于12in/ns，其速度为：
$$v=\frac{12}{\sqrt[]{{\epsilon }_r}}\frac{in}{ns}$$
为了方便，通常将相对介电常数简称为＂介电常数”。介电常数是一个非常重要的参数，它描述了绝缘体的一些电气特征。绝大多数聚合物的介电常数约为4, 玻璃约为6, 陶瓷约为10。

材料中的光速可能与频率有关： 一般来说，随着频率的升高，介电常数会减小，这使得随着频率的升高，材料中的光速会提高。一般来说，随着频率的升高，介电常数会减小，这使得随着频率的升高，材料中的光速会提高。

经验法则： 绝大多数互连线中的光速约为12 in/ns/sqrt(4)=6 in/ns。当估算电路板上互连线中信号的连度对，就可以假定它约为6 in/ns。

时延TD 与互连线长度的关系如下：
$$TD=\frac{Len}{v}$$
其中：

$TD$ 表示时延，单位为ns

$Len$ 表示互连线长度，单位为m

$v$ 表示信号的速度，单位为in/ns

这说明当信号在 FR4 上长为 6 in 的互连线中传输时，时延约为6 叫6in/ns, 即约为1ns 。如果传输长度为12 in, 则时延为2ns 。

连线时延： 即每英寸长度互连线时延的 ps 数．也是一个非常有用的度量单位。它就是速度的倒数： 1/v

对于FR4，其连线时延约为1/6 in/ns = 0.166 ns/in, 或者170 ps/in。 所以0.5 in长的 BGA 引线的连线时延为170 ps/in x 0.5 in = 85 ps

7.6 前沿的空间延伸

信号有上升时间RT，当信号在传输线上传输时．前沿就在传输线上拓展开来，呈现出在空间上的延伸如果我们停滞时间并观察传输线上电压分布的情况．就会发现与下图所示的很相像：

传输线在上升时间内的长度d , 取决于信号的传播速度和上升时间：
$$d=RT\times v$$
其中：

$d$ 表示上升时间的空间延伸， 单位为in

$RT$ 表示信号的上升时间，单位为ns

$v$ 表示信号的速度，单位为in/ns

7.7 信号必须名副其实

当在导线上行走时，就把电压带到了两条导线体上， 并使之带电。在每纳秒时间内，都使信号前面一英尺的导线带上了电荷。信号每前进一步，就会留下另一英尺长的带电导线上。

如果信号在传输线上匀速传播．而且传输线是均匀的，即每英尺的电容直女是相等的，则每，一步注入到导线的电量也是相等的。每走一步，使等量的电容带上相等的电量，以使电容达到相同的电压。如果每走一步用的时间相同，那么单位时间要求从信号源得到的电量就相等，每纳秒流入导线的电且都相等，说明从脚上流入导线的电流是一常量。

从脚底流出的电流与单位长度的电容和信号的速度直接成比例。如果有任何一个增加，则每步从脚底流出的电流就会增加。相反，如果有任何一个减小，则来自信号使导线带电的电流就会减小。所以，从脚底流出的电流与导线特性的简单关系式为：
$$I\approx v\times C_L$$
其中：

$I$ 表示从脚底流出的电流

$v$ 表示我们在导线上行走的速度

$C_L$ 表示线的单位长度电容

当我们（信号）在传输线上行走时，就会不断地问：“导线的阻抗到底是多少?" 阻抗的基本定义是元件两端的电压与流过电流的比值。因此，当在导线上行走时，每走一步，就会不断地问，施加的电压与流过的电流之比是多少？

只要信号的速度和单位长度的电容恒定，从脚底流出的注人到导线的电流就恒延，那么信号受到的阻抗也就恒定。假设两导线的宽度突然增加，则每步间的电容就会增加，那么每步从脚底流出给电容允电的电流也会增加。电流增加而电压不变，这意味着传输线的阻抗减小。

把信号每步受到的阻抗称为传输线的瞬态阻抗。沿着传输线往下走，信号将不断地探测到每一步的瞬态阻抗。瞬态阻抗的值等于线上所加的电压与电流之比，这个电流用于传输线的充电和信号向下一步的传播。把信号每步受到的阻抗称为传输线的瞬态阻抗。沿着传输线往下走，信号将不断地探测到每一步的瞬态阻抗。瞬态阻抗的值等于线上所加的电压与电流之比，这个电流用于传输线的充电和信号向下一步的传播。

当信号遇到的瞬态阻抗变化时，一部分信号被反射，一部分更加失真，信号完整性会受到破坏。这就是对信号受到的瞬态阻抗需要加以控制的主要原因。

7.8 传输线的瞬态阻抗

可以建立一个传输线的简单物理模型来定瞿分析这个问题。线模型由一排小电容器组成，其值等于传输线一跨度的电容量，一跨度就是我们（信号）每步的间隔。把这个模型（用于工程理解的最简单的模型）称为传输线的零阶模型

在这个模型中，步长为$\Delta x$，每个小电容的大小就是传输线单位长度的电容量$C_L$与步长的乘积：
$$C=C_L\times \Delta x$$
使用这个模型，可以计算从脚底流出的电流 $I$。电流的大小就是在每步时间间隔内从脚底流出注入到每个电容上的电量。注入电容的电量$Q$，等于电容乘以其两端的电压v，每走一步，就把电量 $Q$ 注入到导线上。每步之间的时间间隔 $\Delta t$ 等于步长丛除以信号的速度 $v$ 。当然，传输实际信号时，步长非常小，但是时间间隔也非常小。每个时间间隔内需要的电量，也就是信号在导线上传播时的电流，是一个常量：
$$I=\frac{Q}{\Delta t}=\frac{CV}{(\frac{\Delta x}{v})}=\frac{C_L\Delta xvV}{\Delta x}=C_{L}vV$$
$I$ 表示信号的电流

$Q$ 表示每步的电量

$C$ 表示每步的电容

$\Delta t$ 表示从一个电容跨到另一个电容的时间

$C_L$ 表示传输线单位长度的电容量

$\Delta x$ 表示电容间的跨度或步长

$v$ 表示信号的速度

$V$ 表示信号的电压

这就是说，从我们脚底流出并注入到导线上的电流仅与单位长度的电容量、信号的传播速度以及信号的电压有关。传输线上任何一处的瞬时电流与电压成正比。如果施加的电压加倍，则流入传输线的电流也加倍。这与电阻的特性完全一致。所以在传输线上每前进一步时，信号受到的阻抗就像电阻性负载一样。

从这个关系式，可以计算出信号沿传输线传播时受到的瞬态阻抗。瞬态阻抗等于施加的电压与流过器件的电流的比值：
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{V}{C_{L}vV}=\frac{1}{C_{L}v}=\frac{83}{C_L}\sqrt[]{{\epsilon }_r}$$
其中：

$Z$ 表示传输线的瞬态阻抗，单位为$\Omega$

$C_L$ 表示单位长度电容量，单位为pF/in

$v$ 表示材料中的光速

${\epsilon }_r$ 表示材料的介电常数

所以，信号受到的瞬态阻抗仅由传输线的两个固有参数决定，即由传输线的横截面和材料的特性共同决定，与传输线的长度无关

零阶模型是物理模型而不是电气模型。在这个模型中，并不是用电感和电容来近似，而是假设信号的速度是材料中的光速。实际上，制约信号速度的部分原因就是信号路径和返回路径之间的串联回路电感。如果使用的是一阶等效电路模型，其中包含了单位长度电感，就可以导出传输线的电流和有限的传播速度，但是从数学角度讲，模型变得更加复杂了。

7.9 特性阻抗和可控阻抗

对于均匀传输线，当信号在上面传播时，在任何一处受到的瞬态阻抗都是相同的。

对于均匀传输线，当信号在上面传播时，在任何一处受到的瞬态阻抗都是相同的。

为了突出它是传输线所固有的特性阻抗，给了它一个特殊的符号Z₀( 即Z带一个下标零），其单位是欧姆。每种均匀传输线都有特性阻抗，它是描述传输线的电气特性和信号与传输线相互作用关系的一个重要参数。

特性阻抗在数值上与瞬态阻抗相等，它是传输线的固有属性，且仅与材料特性、介电常数和单位长度电容量有关，而与传输线长度无关。

传输线的特性阻抗为：
$$Z_0=\frac{83}{C_L}\sqrt[]{{\epsilon }_r}$$
如果传输线是均匀的，那么它仅有一个特性阻抗。

如果导线的宽度是变化的， 那么整条导线就没有特性阻抗。如果沿线的横截面不变，信号沿互连线传播时所受到的阻抗就是恒定的，就说导线的阻抗是可控制的。基于这个原因，我们把均匀横截面传输线称为可控阻抗传输线。

可控阻抗电路板： 如果一块电路板上的所有互连线都是可控阻抗传输线。并且有相同的特性阻抗，就把这块电路板叫做可控阻抗电路板

所有的高速数字产品，如跟电路板的尺寸大于6 in . 而且时钟频率高于100MHz，就都应制成可控阻抗电路板。

对干FR4 板上的微带线，若线宽是介质厚度的两倍，则特性阻抗约为50 $\Omega$ ，当两导线之间的介质厚度增加时，特性阻抗会发牛什么变化呢？ 现在我们已经知道，传输线的特性阻抗与两导线间的单位长度电容成反比关系，因此，若增加两导线的距离，电容就会减小，相应的特性阻抗将增加；如果增加微带线中信号线的宽度， 就会增加单位长度电容，相应的特性阻抗将减小。

一般来说，宽导线和薄介质构成的传输线的特性阻抗是很低的。例如， PCB 板中电源平面和地平面构成的传输线的特性阻抗通常小于1 $\Omega$。相反地，窄导线和厚介质构成的传输线的特性阻抗比较高，典型值为60 $\Omega$ 到90 $\Omega$ 之间。

7.10 著名的特性阻抗

几年来，人们为特殊的可控阻抗互连线制定了多种标准

自由空间的特性阻抗有特殊的、重要的含义。我们前面提到，传输线上传播的信号实际上是光，信号路径和返回路径收集并引导电磁波。电磁波传插场以光速在复合电介质中传播。如果没有导线的引导，光就会以电磁波的形式在自由空间中传播。电磁波在空间传播时，电场和磁场就会受到一个阻抗，这个阻抗与两个基本常量有关：自由空间的导磁率和自由空间的介电常数：
$$Z_0=\sqrt[]{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}=120\pi =376.99\approx 377\Omega$$
代入这两个常数，所得的结果就是电磁波受到的阻抗。我们称它为自由空间的特性阻抗，其值约为377 $\Omega$ 这个值很重要，当天线的阻抗与自由空间的特性阻抗(377$\Omega$) 相匹配时，天线的辐射量是最优的。

50Ω

注意，它大致是同轴线几何外形的衰减和可制造性的最佳平衡点。如果是在FR4 板上，当线宽是介质厚度的两倍时，可以制造出50Ω左右特性阻抗的微带线。因此，只能大致是最优的。

除非系统的驱动能力很强，否则一般都采用50 Ω

7.11 传输线的阻抗

当提到电缆或传输线为50Ω 时，实际上所说的就是信号沿传输线传播时所受到的瞬态阻抗为50Ω 。即在开始阶段，如果在相对于信号往返时间较短的时间内看测量结果，就会看到传输线的输入阻抗为50Ω 。

只要测量时间小于往返时间，欧姆表所测量到的阻抗就是传输线的特性阻抗。

电缆线的阻抗没有一个固定值，它随时间而变化。在信号的往返时、间内，传输线前端的阻抗就是传输线的特性阻抗。在信号往返时间之后，根据传输线末端负载的不同，阻抗可在零到无穷大之间变化。

传输线的阻抗是由驱动器测量进入传输线前端的信号而得出的．它随时间而变化。对于相同的传输线，根据末端的连接情况、传输线的长度和测量方法的不同，可以是短路，可以是开路，也可以是开路与短路之间的任意值。

• 传输线的瞬态阻抗： 就是信号沿传输线传播时所受到的阻抗。如果横截面是均匀的，沿线的瞬态阻抗就处处相等。但是在突变处，瞬态阻抗就会变化，比如在末端。如果末端开路，则当信号传播到末端时，它所受到的瞬态阻抗就为无穷大。如果有一分支，则信号在分支点处受到的瞬态阻抗就会下降。
• 传输线的特性阻抗： 是描述由几何结构和材料决定的传输线特征的一个物理量，它等于信号沿均匀传输线传播时所受到的瞬态阻抗。

当上升时间比传输线的往返时间短时，驱动器就把传输线看成电阻，其阻值等于传输线的特性阻抗。即使传输线的远端可能是开路，在信号跳变期间，传输线前端的性能也会像是一个纯电阻。

信号的往返时间与材料的介电常数和传输线的长度有关。大多数驱动器的上升时间都在亚纳秒级，所以只要互连线的长度大于几英寸，就可以把它认为是长线。在跳变过程中，互连线对驱动器来说就表现为阻性负载。这就是必须考虑所有互连线的传输线性能的重要原因之一。

在高速系统中，对驱动器来说．长度大于几英寸的互连线并不表现为开路，而是在信号跳变期间，它表现为一个纯电阻。当互连线足够长而显示出传输线性能时，驱动器受到的阻抗可能会随时间而变化这一特性将严重影响互连线上传播的信号的性能.

对于电路板上3 in 长的传输线来说，往返时间约为1ns 。如果驱动这条线的IC( 集成电路）的上升时间小于1 ns, 那么从传输线前端看进去，驱动器受到的阻抗就是传输线的特性阻抗，即驱动器IC 受到的阻抗表现为电阻如果上升时间远大于1ns, 传输线的阻抗将是开路，而且在信号跳变期间，由于信号前沿来回反弹，驱动器受到的阻抗将非常复杂，通常只能使用仿真上具来分析。

往返时间 是传输线的一个重要参数。对于驱动器来说，在这段时间内导线表现为电阻。

7.12 传输线的驱动

驱动器可以模型化为一个高速切换的电压源和一个源电阻。电压源的具体电压与晶体管的拓扑结构有关。对于CMOS 器件，根据晶体管生产期的不同，电压可在1.5V 至5V 之间变化。

当源电阻很高时，加到传输线上的电压就会很低一一通常这并不是件好事

为了使初始加到传输线上的电压更接近于总电压，驱动器的输出源电阻就必须很小，它的重要性仅次于传输线的特性阻抗。

若输出器件的输出阻抗特别低，如10Ω或更小， 通常称之为线性驱动器、因为它们能把绝大部分电压加到传输线上。

7 .13 返回路径

电流总是在回路中流动，如果一些电流流向别处，那么它一定会返回到源端。

我们把信号加到传输线上。开始时， 信号路径上的电流为一常量，它与施加的电压和传输线的特性阻抗有关。

利用传输线的零阶模型，将传输线描述为一连串的小电容。若电容两端的电压恒定不变，就没有电流流过电容。当信号加到传输线上时，信号路径与返回路径两导线之间的电压就会迅速升高。正是在电压的前沿经过时，电流流过第一个电容。

只有在电压发生改变的地方，才有电流从信号路径流到返回路径中。

一旦信号输人到传输线，信号就以波的形式，以光速在线上传播，而电流就在信号路径、电容和返回路径组成的回路中流动。这个电流回路的前端与电压前沿同时向外传播， 可以看到信号不仅仅是电压波前沿， 也是沿传输线传播的电流回路。信号受到的阻抗就是信号电压与电流的比值。

任何F扰电流回路的因素都会下扰信号并造成信号失真这将损害信号完骆性。为了保持良好的信号完整性．控制电流波前沿和电压波前沿都非常重要做到这一点的最重要方法就是保持信号受到的阻抗恒定。

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如果返回路径是个平面， 我们就会问返回电流在哪流动? 电流在平而上是如何分布的？

上图我们可以得出两个结论：（图中颜色越淡，电流密度越大）

第一，由于趋肤效应，信号电流只分布在导体的表而；

第二， 返回路径中的电流分布集中在信号路径的下面，而且正弦波频率越高。电流分布越集中

7.14 返回路径中参考平面的切换

人们专门将电缆设计成返回路径靠近信号路径例如同轴线和双绞线就是这种情况。这时的返回路径很容易跟随信号路径。在多层板的平面型互连中，返回路径通常设计成平面。例如微带线， 有一个平面直接位于信号路径的下方，这样返回电流就很清楚。但是，如果与信号路径相邻的平而不是被驱动的平面，情况又会如何呢？

电流的分布总是趋向于减小回路阻抗在传输线的起始端．返回路径将从第三层底平面耦合到第二层中间平面． 然后又回到第一层的信号路径。

由于趋肤效应的影响，平面上精确的电流分布与频率有关。通常，电流在各个平面的分布趋向于减小信号－返回路径的总回路电感，且只能使用场求解器来精确计算出分布情况，下图给出了一个例子：导线的厚度为2mil, 频率在20MHz．从一端观察到的电流分布情况。

从传输线看进去，驱动器在信号路径与底平面之间受到的阻抗为多少？

这两条传输线为： 一条由信号路径和第二层中间平而构成；另一条由第二层平面和第三层平面构成

减小相邻于相邻平面间阻抗的最重要方法就是尽量减小平面间介质的厚度。这不仅使得平面间的阻抗最小，而且使两平面紧密耦合。

如果平面间是紧耦合．并且它们之间的阻抗很小，则轨道塌陷不管怎样都很低。这时驱动器实
际连接括的是哪一个平面都无关紧要了。平面间的耦合为返回电流尽量接近信号电流提供了低阻抗路径。

如果信号路径在中途转换所在的层，相应的返回电流情况又会怎样？如图所示的四层电路板中，信号路径从第1 层开始，通过过孔连接到第4层上。在电路板的前半部分，返回电流分布在信号路径下方的平面上即第2层平面。

过孔把信号电流从第1 层引到第4层， 那么返回电流是如何从第2层转换到第3层的？

最佳的设计准则： 如果没有其他的约束条件，比如费用。让最近的参考平面具有相同的电压并使它们在靠近信计过孔处短接，是最佳的设计准则

为了减少电路板层数， 必须使用电压值不相同的邻近参考平面。如果平面2 的电压为5V, 平面3 的电压为0V，则它们之间没有直流通路。那么返回电流是如何从第3层平面流到第2层平面？

电流只能从平面之间的电容流过。返回电流围绕过孔转换到同一平面的另一表面上。此时电流在两平面的内表面上扩散开， 并通过两平面间的电容耦合。

两个返回路径平面构成一条传输线 ， 而且返回电流受到的阻抗就是两平面的瞬态阻抗。无论什么时候返回电流在直流隔开的平面间切换，返回电流都会在两平面间实现耦合， 信号电流受到的阻抗等于两平面构成传输线的瞬态阻抗。同时产生压降，即地弹。

设计返回路径的目标是： 设法减小返回路径的阻抗以便减小返回路径上的地弹噪声。要达到这个目标，就得尽量减小参考平面间的阻抗，通常的做法是把参考平面设计成两个相邻的平面， 而且平面间的介质要尽量薄。

在两返回平面之间， 当返回电流以不断扩张的圆从信号过孔中心向外扩散时， 它受到的瞬态阻抗将不断减小。因为当圆的半径增加时， 单位长度电容就增加。

下面建立一个简单模型来估算两平面间的瞬态阻抗：

当信号在两平面间向外辐状传播时，为了计算信号受到的瞬态阻抗，要先计算出辐状传输线的单位长度电容和信号速度。信号感受到的单位长度电容就是半径增加单位长度时电容的增量。返回电流受到的总电容为：
$$C={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{\pi r^2}{h}$$
其中：
$C$ 表示平面间的耦合电容
${\epsilon }_0$ 表示自由空间的介电常数，其值为0.225 pF/m
${\epsilon }_r$ 表示平面间材料的介电常数
$\pi r^2$ 表示两平面上返回电流的重叠面积
$h$ 表示平面间的距离
$r$ 表示耦合圆不断扩张的半径，扩展速度为光速

随着半径的增加，电容的增量（即单位长度电容）为：
$$C_L=2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{r}{h}$$
随着返回电流远离过孔，电流受到的瞬态阻抗为：

由于返回电流以信号速度传播， 并且r=vt, 所以返回电流受到的阻抗与时间的关系为：

下图画出了返回电流受到的阻抗与时间的关系。图中，返回电流的阻抗只有在上升时间很短的情况下才很大，这段时间基本上小于0.5ns 。

对应于一条信号线的电流跳变，当返回路径阻抗约为50Ω 的5% 时，它的影响就相当大。如果有n个信号路径穿越这些平面并发生电流跳变时，返回路径最大可允许的阻抗为2.5 Ω/n 。

当多个快速信号的跳变前沿同时出现在几个参考平面间时，在返回路径上产生的地弹电压就很大。减小地弹电压的惟一方法就是减小返回路径的阻抗。

减小返回路径的阻抗主要的措施有以下几种：

1. 当信号的路径转换层时，总要有一个有相同参考电压的相邻平面，并且在切换平面间的短路
   过孔应尽量靠近信号过孔。
2. 具有不同直流电压的参考平面间的距离应尽量薄。
3. 扩大相邻切换过孔的距离，以免在初始瞬间当返回路径的阻抗很高时，返回电流叠加在一起。有时认为，当两参考平面间切换返回电流时，在这两平面间并接一个去耦电容器，这样有助于减小返回路径的阻抗。

有时认为，当在两参考平面上切换返回电流时，在这两个平面间并接一个去耦电容，有助于减小返回路径的阻抗。希望在两平面间连接的分立电容，能为返回电流从一个参考平面流到另一个参考平面提供一条低阻抗路径。

为了起到有效作用，在上升时间内，实际电容器必须使得两平面间的阻抗小于50Ωx5%=2.5Ω

实际的电容都有相应的回路电感和等效串联电阻，这就限制了分立去耦电容在短上升时间信号中的作用。毕竟，在长时间之后或对于低频分量来说，平面间的阻抗仍然是很低的。

当使用分立电容器来减小返回路径的阻抗时，使用串联电感低的电容器比电容量大于1nF的电容器更有效。（对于可以使用分立形式的高牍元件，决定实际电容阻抗的井不是电容量，而是它的等效串联电感。）

不同直流电压平面间的电容并不能有效地控制切换平面引起的地弹，然而它可以为低频噪声提供额外的去耦作用，但是随着上升时间持续缩短，仍然解决不了地弹问题。

在多层板中，当信号路径必须变更不同电平参考层时，减小地弹电压的惟一方法就是使参考平面间的介质尽量薄。

为了减小谐振电压，特别是小型多层封装中，避免返回电流在不同的平面间切换非常重要。相邻返回层的直流电压必须相同，而且应当在信号路径附近用过孔来连接返回路径。这样就可以避免在平面间注入电流，并避免平面谐振的产生。

7.15 传输线的一阶模型

前面介绍的零阶模型，把传输线描述成一系列的相互间有一定间距电容的集合。那只是物理模型，并不是等效电气模型。
把信号路径和返回路径导线的每一小段描述成回路电感， 就可以进一步近似为物理传输线。如图所示，这个最简单的传输线等效电路模型中，每两个小电容就被一个小回路电感隔开。图中C表示两导线间的电容，L表示两小节之间的回路电感。

当信号在传输线上传播时， 实际传播的是从信号路径到返回路径的电流回路。因此所有信号电流流经一个回路电感， 此回路电感由信号路径段和返回路径段构成。

对于传输线上的信号传播和大多数串扰来说，只有回路电感才是重要的。

这个集总电路模型是理想传输线的近似。在极端的情况下， 若电容和电感逐渐细小化并且分成的节数越多，近似程度就越好。

在极端情况下，当电容和电感无穷小时， LC 电路的节数就趋于无穷，单位长度电容C, 和单位长度电感L, 都为常数。这两个参数通常称为传输线的线参数。如果给出传输线的总长度Len, 那么总电容为：
$$C_{total}=C_L\times Len$$
总电感为：
$$L_{total}=L_L\times Len$$
其中：

$C_L$ 表示单位长度电容

$L_L$ 表示单位长度电感

$Len$ 表示传输线长度

只看这个LC 电路， 很难想象信号是如何传输的。乍一看， 可能会认为这有很多振荡和谐振。但是， 当各元件是无穷小时。。。
运用网络理论， 根据传输线的线参数和总长度， 可以计算出传输线的特性阻抗和时延：
$$\begin{gathered} Z_0=\sqrt[]{\frac{L_L}{C_L}} \\ TD=\sqrt[]{C_{total}{L}_{total}}=Len\times \sqrt[]{C_L{L}_L}=\frac{Len}{v} \\ v=\frac{Len}{TD}=\frac{1}{\sqrt[]{C_L{L}_L}} \end{gathered}$$
其中：
$Z_0$ 表示特性阻抗，单位为Q

$L_L$ 表示传输线的单位长度回路电感

$C$, 表示传输线单位长度电容

$TD$ 表示传输线的时延

$L_{total}$ 表示传输线的总回路电感

$C_{total}$ 表示传输线的总电容

$v$ = 传输线中的信号速度

这两个预计的特性（特性阻抗和时延）必须和基于电容排列组成的有限速度的零阶模型导出的结果一致。将两个模型的结论联系起来，就可以得出很多重要的关系式。
因为信号的速度取决千材料的介电常数、单位长度电容和单位长度电感，所以可以将单位长度电容和单位长度电感联系起来：
$$\begin{gathered} v=\frac{c}{\sqrt[]{{\epsilon }_r}}=\frac{1}{\sqrt[]{C_L{L}_L}} \\ {L}_L=7\frac{{\epsilon }_r}{C_L}\frac{nH}{in} \\ {C}_L=7\frac{{\epsilon }_r}{L_L}\frac{pF}{in} \end{gathered}$$
从特性阻抗和速度的关系，可以得出下列关系式：
$$\begin{gathered} C_L=\frac{1}{v{Z}_0}=\frac{1}{c{Z}_0}\sqrt[]{{\epsilon }_r}=\frac{83}{Z_0}\sqrt[]{{\epsilon }_r}\frac{nH}{in} \\ {L}_L=\frac{Z_0}{v}=0.083Z_0\sqrt[]{{\epsilon }_r}\frac{nH}{in} \end{gathered}$$
从传输线的时延和特性阻抗，可以得出下列关系式：
$$\begin{gathered} C_{total}=\frac{TD}{Z_0} \\ {L}_{total}\approx TD\times Z_0 \end{gathered}$$
其中：
$Z$ 表示特性阻抗，单位为Ω

$L_L$ 表示传输线的单位长度回路电感，单位为nH/in

$C_L$ 表示传输线单位长度电容，单位为nF/in

$TD$ 表示传输线的时延，单位为ns

$L_{total}$ 表示传输线的总回路电感，单位为nH

$C_{total}$ 表示传输线的总电容，单位为nF

$v$ 表示传输线中的信号速度，单位为in/ns

例如， 传输线的特性阻抗为50Ω，FR4 介电常数为4, 则单位长度的电容为C_L=83/50x2=3.3( pF/in ) ， 单位长度电感为： L_L =0.083x50x2=8.3 ( nH/in ) 。

如果线宽加倍，则为了保持特性阻抗不变，电介质的厚度也应加倍，此时单位长度电容不变。

这些与传输线相关的电容、电感、特性阻抗和介电常数之间的关系式，适用千所有的传输线，
而且与传输线的横截面几何形状无关。

7.16 特性阻抗的近似计算

设计一个特定的特性阻抗，实际上就是不断调整线宽、介质厚度和介电常数的过程。如果知道传输线的长度和导线周围材料的介电常数，就可以计算出特性阻抗以及所有其他参数。从导线的横截面几何结构中求解特性阻抗，通常可以使用的分析方法有三种：

1. 经验法则
2. 解析近似法
3. 二维场求解器

对于FR4板上微带线和带状线，有两个关于特性阻抗的最重要经验法则。图示例了50Ω传输线的两种横截面。

由经验可得， FR4板上50Ω微带线的线宽等千介质厚度的两倍。50Ω的带状线，两平面间总的介质厚度等于线宽的两倍。

如果忽略线条厚度的影响，这两种结构的特性阻抗仅与介质厚度和线宽的比值有关，只要这个比例不变，特性阻抗就恒定不变！这个关系式很重要！

在一阶模型中，微带线和带状线的特性阻抗与介质厚度和线宽的比值成比例变化。只要这个比值保持不变，特性阻抗就恒定不变。

7.17 用二维场求解器计算特性阻抗

如果要求的精度优于10%, 或者担心二阶效应，如线条厚度、阻焊层的覆盖面成侧面墙壁形状等，那么就不能使用近似法计算。二维场求解器是计算阻抗的最重要工具，也是工程师的必备工具。

均匀的几何结构是二维场求解器的基本前提，即整条传输线的横截面形状是相同的。

• 以下将微带线的计算结果与IPC近似估算加以比较。在50Ω附近或大千50Ω处， 二者吻合得很好。但是当阻抗较低时， IPC 的近似偏差高达25 % 。

• 对带状线也做相同的比较， 二者在50Ω附近吻合得很好。但是当阻抗较低时， IPC 的近似偏差高达25 % 。所以当要求高精度时就不能用近似法。

除了能精确地估算特性阻抗外， 二维场求韶器还可以分析出二阶囚索的影响，如：

1. 返回路径的宽度
2. 信号线条的导线厚度
3. 表面线条上阻焊层的存在
4. 有效介电常数

经验法则： 要使特性阻抗与返回路径为无穷宽时的值相差不到 1%. 返回路径在信号路径每边的延伸宽度应至少为介质厚度的3 倍

金属厚度增加时，边缘场的电容也增加，特性阻抗就减少，这与我们的预料是致的增加金属片厚度意味和增加信号路径与返回路径之间的电容，也意味特性阻抗减小。但是， 从计算的结果可以看到，这个影响并不大——属于是第二位的

经验法则： 信号路径厚度每增加1mil， 特性阻抗约下降2Ω

如果微带线上面覆盖了一层很薄的阻焊层，边缘场电容就会增加，特性阻抗将会减小，对于上述这种微带线．如果使用0.1 mil 厚的导线， 介电常数为4，当阻焊层厚度增加时，特性阻抗随之减小。当阻焊层很薄时，特性阻抗的下降速度约为2 Ω/mil，厚度在10 mil 以上时，特性阻抗就不再受影响，因为外部的边缘场都被包含在10mil 阻焊层以内。这也是对边缘场在上表面延伸程度的一种度量

当然．阻焊层厚度的典型值为0.5 mil 到1 mil 之间。可以看到，在这个范围内，阻焊层的存在使特性阻抗降低了2Ω，这个值相当大。如果存在阻焊层，要达到期望阻抗就必须使线宽小于标称值，这样阻焊层会使特性阻抗减小到期望值。当然，对于带状线来说，所有的电力线都在介质内，顶平面上的阻焊层不会影响到特性阻抗。

7.18 n节集总电路模型

理想传输线电路元件是一个分布模型。下图给出了1 in长末端开路传输线的测量阻抗与仿真阻抗的频域比较。可以看出， 在测量带宽5GHz内，两者相当吻合。

在较高的带宽内，实际互连线与理想传输线的性能非常吻合。理想传输线是实际互连线很好的模型。

在频域， 可以计算出末端开路时传输线的输入阻抗。

传输线最简单近似是单个LC模型，模型中L和C分别为传输线的总电容和总回路电感。这是理想传输线最简单的集总电路模型。

下图给出理想分布传输线和单个LC集总电路模型的阻抗。低频模型的带宽仅约为100MHz 。事实上，带宽受限是由于理想传输线的电容并不是集中在一点上，而是沿着整条线分布，并且电容之间还有与每节导线长度对应的回路电感。末端开路的传输线在低频时与理想电容非常相似。

当理想传输线长度为半波长的整数倍时， 传输线的阻抗就出现谐振峰值。谐振峰值的频率 f_res 由下式得到：
$$f_{res}=m\times \frac{f_0}{2}=m\times \frac{1}{2TD}$$
其中：

$f_{res}$ 表示阻抗中峰值的频率；

$m$ 表示峰值的个数， 即传输线上的半波数目；

$TD$ 表示传输线的时延；

$f_0$表示传输线上全波的频率。

m=1 时，第一个谐振频率为1x 1 GHz/2=0.SGHz 。这时传输线上只有一个半波，时延TD 为lns 。m=2 时，第一个谐振频率为2x lGHz/2=1GHz 。这时传输线上恰好有一个全波。下图画出了这些谐振的驻波模式。

单节LC 电路模型的带宽约为第一个谐振频率的四分之一， 即约为125MHz 。增加传输线的节数， 就可以提高模型的带宽。如果把传输线分成两节，则每节都可以建成相同的LC模型， 其中每节的L和C分别为L_total/2和C_total/2 。下图给出了两节LC模型的带宽约在第一个谐振峰值的二分之一处， 频率约为250MHz。

增加传输线的分节数，可以进一步扩展集总电路模型的带宽。可以用LC 集总电路单元的级联来近似这个理想电路模型。下图给出了理想传输线和16节LC集总电路模型的比较， 其中每节的L和C分别为L_total16和C_total/16。这个模型带宽达到第4个谐振峰值， 即2GHz

根据理想传输线的时延，可以估算出n 节集总电路模型的带宽。上面的例子表明， LC 模型的节数越多，带宽就越高。一节模型的带宽只有第一个谐振频率的四分之一，两节模型的带宽为第一个谐振频率的二分之一， 16 节模型的带宽为第4 个谐振频率。可以归纳出吻合的最高频率一一模型的带宽：
$$\begin{gathered} B{W}_{model}=\frac{n}{4}\times \frac{f_0}{2}\approx n\times \frac{f_0}{10} \\ 或 \\ n=10\times \frac{B{W}_{model}}{f_0}=10\times B{W}_{model}\times TD \end{gathered}$$
其中：
$B{W}_{model}$ 表示 n 节集总电路模型的带宽

$n$ 表示模型中 LC 的节数

$TD$ 表示传输线的时延

$f_0$表示全波的谐振频率，等于 1/TD

为了使关系式更简洁、便于记忆，把它们近似为$n=10\times B{W}_{m}odel\times TD$, 而不是采用$n=8 × BW_{model} × TD $。

这是个非常重要的经验法则，它说明了要使模型的带宽达到1/TD, 需要10 节LC 电路。也就是说因为这个频率相当于传输线上仅有一个全波，为了更好地近似，每1/10个信号波长就必须对应一节 LC 电路。

也可以估算出用单个LC 电路近似传输线时的带宽，或者说， 在多高的频率范围内传输线可以近似成单个LC 电路。单个LC 电路的带宽为：
$$BW=\frac{n}{10TD}=0.1\frac{n}{TD}$$

如果信号的上升沿时间为RT, 则信号带宽为BW_sig=0.35/RT 。如果传输线的时延为TD, 并用n节集总电路模型来近似， 则必须保证模型的带宽BW_model至少大于信号的带宽BW_sig
$$\begin{gathered} B{W}_{model}>B{W}_{sig} \\ 0.1\frac{n}{TD}>\frac{0.35}{RT} \\ n>3.5\frac{TD}{RT} \end{gathered}$$
$B{W}_{sig}$ 表示信号的带宽；
$B{W}_{model}$ 表示模型的带宽；
$RT$ 表示信号的上升时间；
$TD$ 表示传输线的时延；
$n$ 表示精确模型所需LC电路的最小节数。

表明， 如果上升沿时间等千传输线时延， 则此传输线的精确模型至少需要3.5节LC 电路。用n节LC模型精确地描述一条传输线时， 前沿的空间延伸至少需要3.5节LC 电路， 或者说， 每1/3前沿时间与传输线的相互作用可以用一个集总电路元件来近似。

在FR4 中， 信号速度约为6in/ns, 当上升时间为RT 时， 每节LC 电路对应线长为1.7RT 。

经验法则： 当给定上升时间RT(ns) 时，n节LC集总电路模型要达到足够高的带宽，每节LC
电路对应的线长必须小于1.7RT(in) 。

在FR4 中，如果上升时间为1ns, 则每个LC 电路对应的线长就必须小于1.7in 。如果如果上升时间为0.5ns, 则每个LC 电路对应的线长就必须小于0.85in 。

7.19 特性阻抗与频率的关系

到目前为止都是假设传输线的特性阻抗与频率无关。但是，我们已经知道，从传输线前端看进去的阻抗与频率有密切的关系。那么特性阻抗是否也随频率而变化呢？ 在这一节令假设传输线是无损耗的

如前所述，理想无损传输线的特性阻抗与单位长度电容和单位长度电感的关系为：
$$Z_0=\sqrt[]{\frac{L_L}{C_L}}$$
假设随着频率的变化，互连线的介电常数是个常数，那么单位长度电容也是恒定不变的。虽然在某些情况下，介电常数会有微小的变化，但对大多数材料来说这个假设是合理的。

在低频时回路电感比较高，但是随着越来越多的电流分布在外表面，回路电感将下降。这说明在低频时，特性阻抗比较高，随着频率的升高，特性阻抗将下降到某一恒定值。

若频率远高于趋肤效应的频率，就认为所有电流都分布在导线的表面，并且当频率再升高时不随频率而变化。此时回路电感和特性阻抗都是常量。

约在50MHz 以上时，传输线的特性阻抗是个常量，不再随频率而变化。这个值就是通常用来估计各种高速信号性能的“高频“特性阻抗。