模糊控制——WM算法
在现代智能控制算法中，模糊控制是在实际控制系统设计中使用比较成熟的一种方法。模糊控制可以使用在一些无法建立系统模型的场合，根据专家经验确定模糊规则，实现对系统的控制。
这里主要介绍一种基本的模糊控制算法，WM算法。该算法的思想是根据采样的数据对（一组输入、输出数据），确定出模糊规则，通常是一条数据对就可以确定一条规则。
首先我们需要确定系统的输入输出数量，假设系统为单输入单输出。对输入变量x，输出变量y分别划分模糊集合，可以使用正态分布隶属度函数，或者三角隶属度函数来划分。这叫做变量的模糊化。如x的论域为[0,2],划分13个模糊集合，分别为A1,A2,A3,...,A13,如下图：
对于输出y,论域为[-1.5,1.5],划分13个模糊集合，为B1,B2,B3,...,B13，如下图所示：
现在有0-2论域上均匀分布的样本点共21个，利用它们来确定模糊规则。
需要分别计算每一个数据点在模糊集合上的隶属度，选取最高的隶属度值作为确定一条模糊规则的依据。如样本点（0.2,1），需要计算0.2在输入隶属度函数中的隶属度值，需要计算13个值，找出其中最大的值如A5，则输入为A5；再计算输出1在13个模糊集合中的隶属度函数值，找出最大的那个，如B2，则输出为B2；由此可以确定一条模糊规则：IF x=A5 THEN y=B2;由此可以确定21个规则；但是这些规则有大量的重复和冲突的规则，需要计算它们置信度
conf=u(Ax)*u(By);
由此公式可以求出矛盾规则的置信度，把置信度低的规则去掉；按照WM算法的提出则王立新的做法，还应该乘上一个专家经验系数，也就是专家认为这条规则的可信度大不大。上面的公式改写为：
conf=u*u(Ax)*u(By);
由此可以建立模糊规则库；
上面表中的第一行代表输入x的隶属集合的下标，第二行代表输出y的隶属集合的下标。
利用模糊规则库，计算输出y;根据去模糊化公式：
即可计算输出。
选用函数
y=0.9*sin(PI*x)+0.3*cos(3*PI*x);
以下是在matlab中的仿真代码：
（1）计算输出变量y的隶属度函数
function u = u_y_B(y,a,left,right,step)
%u_y_B
% 计算输出变量y的隶属度函数值
%y:输出变量的值
%a：区间中点的值
%left:表示论域区间的左端点
%right：表示论域区间的右端点
%step:三角形底边长的一半
%论域为[-1.5,1.5]，共有5个模糊区间：B1,B2,B3,B4,B5
b=a-step;
c=a+step;
len=length(y);
u=zeros(1,len);
for i=1:len
if a==left+step
if y(i)>=b&&y(i)<=a
u(i)=1;
end
if y(i)>a&&y(i)<=c
u(i)=(c-y(i))/(c-a);
end
if y(i)<b||y(i)>c
u(i)=0;
end
elseif a==right-step
if y(i)>=b&&y(i)<=a
u(i)=(y(i)-b)/(a-b);
end
if y(i)>a&&y(i)<=c
u(i)=1;
end
if y(i)<b||y(i)>c
u(i)=0;
end
else
if y(i)>=b&&y(i)<=a
u(i)=(y(i)-b)/(a-b);
end
if y(i)>a&&y(i)<=c
u(i)=(c-y(i))/(c-a);
end
if y(i)<b||y(i)>c
u(i)=0;
end
end
end
end
（2）计算输入隶属度（输入模糊化）
function u=u_x_input(x)
%计算任意一个输入在输入模糊区间A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7上各自的隶属度值
% x：输入值
% u：输出一个有隶属度组成的数组
a=0;
u=zeros(1,10);
for i=1:10
a=a+0.2;
u(i)=u_x_A(x,a);
end
end
function u= u_x_A(x,a)
%u_x_A
% 计算输入变量x的隶属度函数值
%x:输入变量的值
%a：区间中点的值
%论域为[0,2]，共有10个模糊区间A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7，A8，A9，A10
len=length(x);
u=zeros(1,len);
b=a-0.2;
c=a+0.2;
for i=1:len
if a==0.2
if x(i)>=b&&x(i)<=a
u(i)=1;
end
if x(i)>a&&x(i)<=c
u(i)=(c-x(i))/(c-a);
end
if x(i)<b||x(i)>c
u(i)=0;
end
elseif a==1.8
if x(i)>=b&&x(i)<=a
u(i)=(x(i)-b)/(a-b);
end
if x(i)>a&&x(i)<=c
u(i)=1;
end
if x(i)<b||x(i)>c
u(i)=0;
end
else
if x(i)>=b&&x(i)<=a
u(i)=(x(i)-b)/(a-b);
end
if x(i)>a&&x(i)<=c
u(i)=(c-x(i))/(c-a);
end
if x(i)<b||x(i)>c
u(i)=0;
end
end
end
end（3）WM算法实现脚本
clc;
clear;
PI=3.1415926;
t=0:0.01:2;
y=0.9*sin(PI*t)+0.3*cos(3*PI*t);
plot(t,y);%原始图像
xlabel('输出值x');
ylabel('输入值y');
grid on;
title('y=0.9*sin(PI*t)+0.3*cos(3*PI*t)');
%获取采样点,采样21组数据
sample_x=0:0.1:2;
sample_y=0.9*sin(PI*sample_x)+0.3*cos(3*PI*sample_x);
sample_num=length(sample_x);%采样个数
%论域x划分set_X个模糊区间，使用正态（高斯）形隶属函数,论域[0,2]
set_X=13;
xmin=0;
xmax=2;
x_step=(xmax-xmin)/(set_X-1);%x模糊集合的步长
av_x=xmin:x_step:xmax; %计算高斯分布均值
sigma_x=sqrt(-x_step^2/(8*log(0.5)));%计算高斯分布方差
%sigma_x=0.09;
x=xmin:0.01:xmax;
figure(2)
for i=1:set_X
plot(gaussmf(x,[sigma_x,av_x(i)]));%绘制x的模糊函数曲线
hold on;
end
legend('A1','A2','A3','A4','A5','A6','A7','A8','A9','A10','A11','A12','A13');
xlabel('输入值x');
ylabel('隶属度值u(x)');
set(gca,'XTick',0:50:250);
set(gca,'XTickLabel',{'0','0.5','1.0','1.5','2','2.5'});
title('输入变量x的模糊区间划分以及隶属度');
%论域y划分set_Y模糊区间，使用三角隶属函数,论域[-1.5,1.5]
figure(3)
set_Y=13;
ymin=-1.5;%论域下限
ymax=1.5; %论域上限
y_step=(ymax-ymin)/(set_Y+1);%三角形两个尖点之间的步长
a=ymin;%保存论域下限，方便后面的隶属度计算
y=ymin:0.01:ymax;%获取一组y的数值
for i=1:set_Y
a=a+y_step;
plot(u_y_B(y,a,ymin,ymax,y_step));%绘制y的模糊函数曲线
hold on;
end
legend('B1','B2','B3','B4','B5','B6','B7','B8','B9','B10','B11','B12','B13');
xlabel('输出值y');
ylabel('隶属度值u(y)');
set(gca,'XTick',0:50:350);
set(gca,'XTickLabel',{'-1.5','-1.0','-0.5','0','0.5','1.0','1.5','2.0'});
title('输出变量y的模糊区间划分以及隶属度');
%WM算法
uxA=zeros(sample_num,set_X);%存储每条样本数据x的隶属度函数值
uyB=zeros(sample_num,set_Y);%存储每条样本数据y的隶属度函数值
for i=1:set_X
uxA(:,i)=gaussmf(sample_x,[sigma_x,av_x(i)]);%sample_num个样本x的在第i个模糊区间中的隶属度值
end
a=ymin;
for j=1:set_Y
a=a+y_step;
uyB(:,j)=u_y_B(sample_y,a,ymin,ymax,y_step);%sample_num个样本y的在第j个模糊区间中的隶属度值
end
WM_rule=zeros(3,sample_num);%保存每个样本数据所在的模糊集合的下标
[~,WM_rule(1,:)]=max(uxA,[],2);%计算每个样本x所在的模糊集合下标
[~,WM_rule(2,:)]=max(uyB,[],2);%计算每个样本y所在的模糊集合下标
for i=1:sample_num
WM_rule(3,i)=uxA(i,WM_rule(1,i))*uyB(i,WM_rule(2,i)); %计算每条规则的支持度
end
%对于属于x属于同一个模糊区间，输出却不同的规则，去除信任度低的规则
for i=2:sample_num
if(WM_rule(1,i-1)==WM_rule(1,i))
if(WM_rule(3,i-1)<=WM_rule(3,i))
WM_rule(:,i-1)=0;
else
WM_rule(:,i)=0;
end
end
end
WM_rule(:,all(WM_rule==0,1))=[];%去除多于的规则（把每列全为0的删除）
%WM算法的模糊规则库已经建立完成
p_value=zeros(1,set_Y);%用于保存y模糊函数尖点所对应的横坐标的值
a=ymin;
for i=1:set_Y
a=a+y_step;
p_value(i)=a;%保存y模糊函数尖点所对应的横坐标的值
end
%测试规则
x=0;
y_x=zeros(1,201);
WM_y_x=zeros(1,201);
for i=1:201
x=x+0.01;
ux=zeros(1,set_X);
for m=1:set_X
ux(m)=gaussmf(x,[sigma_x,av_x(m)]);
end
num=0;
num1=0;
den=0;
for j=1:set_X
num=num+p_value(B_index(j))*ux(j);
num1=num1+p_value(WM_rule(2,j))*ux(j);
den=den+ux(j);
end
y_x(i)=num/den;
WM_y_x(i)=num1/den;
end
figure(4);
x=0:0.01:2;
plot(x,WM_y_x,'-.b');%画出WM算法的输出曲线
hold on;
y=0.9*sin(PI*x)+0.3*cos(3*PI*x);
plot(x,y,'-g'); %画出原始函数的曲线
xlabel('输入值x');
ylabel('输出值y');
title('使用WM、DM模糊控制算法的结果');
legend('WM算法输出曲线','原始输出曲线');
grid on;
仿真结果如下：
由上图可知：WM算法能够较好的拟合原始曲线。