基于python与CUDA的N卡GPU并行程序——使用taichi语言实现三角形光栅化算法

  在计算机图形学中，需要扫描三角形以进行光栅化。比如渲染引擎的计算过程，需要计算从每个像素发出去的光线是否能够碰撞到某个三角形面片，这个时候需要将3D的三角形，按照几何透视原理，投影到2D的光源空间上，然后扫描每个三角形。

重心坐标系插值算法

  Barycentric Coordinates即重心坐标系插值算法，能够计算2D平面上的任意一点到三个顶点的相对位置，然后依次判断这个点是否在三角形内部，如果在三角形内部，就给这个像素图上颜色，这时就可以完成三角形光栅化。
  已知三角形的三个顶点A,B,C,设任意一点P能够表示成
$$\begin{gathered} P=A+u\cdot \overrightarrow{AB}+v\cdot \overrightarrow{AC} \\ =A+u\cdot (B-A)+v\cdot (C-A) \\ =(1-u-v)\cdot A+u\cdot B+v\cdot C \end{gathered}$$
这样就能产生一个方程
$$\begin{gathered} u\cdot \overrightarrow{AB}+v\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{PA}=0 \\ \{\begin{array}{r} \\ u\cdot {\overrightarrow{AB}}_x+v\cdot {\overrightarrow{AC}}_x+{\overrightarrow{PA}}_x=0\\ u\cdot {\overrightarrow{AB}}_y+v\cdot {\overrightarrow{AC}}_y+{\overrightarrow{PA}}_y=0\end{array} \end{gathered}$$
只有$u$和$v$两个未知量，所以可以直接解出方程，不过可以直接使用向量叉积运算来简化这个求解过程，设两个向量分别为
$$\begin{gathered} ve{c}_1=[{\overrightarrow{AB}}_x,{\overrightarrow{AC}}_x,{\overrightarrow{PA}}_x] \\ ve{c}_2=[{\overrightarrow{AB}}_y,{\overrightarrow{AC}}_y,{\overrightarrow{PA}}_y] \end{gathered}$$
直接计算这两个向量的叉积，就可以知道最后的$u$和$v$的值了
$$\begin{gathered} ve{c}_3=cross(ve{c}_1,ve{c}_2)=[a,b,c] \\ [u,v,1]=[a/c,b/c,1] \end{gathered}$$
这时只要判断，如果
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{r} \\ 0<=u<=1\\ 0<=v<=1\\ 0<=(u+v)<=1\end{array} \end{gathered}$$
那么点P必定在三角形内部。这个方法还有一个优点就是能够很方便的计算出纹理贴图的坐标，并且拟合插值出中间的颜色值。
  这个算法的缺点是没有利用上相邻像素往往很相似的假设条件，所以每个像素点都是独立计算的，不过也很容易直接应用在GPU并行计算的程序上，缺点是这样带来了很高的计算量。使用taichi语言实现并行程序，这时的三角形扫描速度很慢，1百万个三角形需要30秒的时间才能扫描完，以下是这个算法的程序，这个速度显然是远远不够的，因为著名的虚幻5引擎《UE5》可以一秒钟可以处理几十亿个三角形。笔者在此基础上也进行了改进，调整了数据内存的布局，提升缓存命中率，可以达到一分钟扫描三亿个三角形。

def triangle_rasterization(i: ti.i32):
    # 将三角形光栅化
    for i, j, k in ti.ndrange(pixels.shape[0], pixels.shape[1], (i*1000, (i+1)*1000)):
        vec_1 = ti.Vector([triangles[k][0, 1] - triangles[k][0, 0], 
                          triangles[k][0, 2] - triangles[k][0, 0], 
                          triangles[k][0, 0] - i])
        vec_2 = ti.Vector([triangles[k][1, 1] - triangles[k][1, 0], 
                          triangles[k][1, 2] - triangles[k][1, 0], 
                          triangles[k][1, 0] - j])
        vec_3 = ti.cross(vec_1, vec_2)
        u = vec_3[0] / vec_3[2]
        v = vec_3[1] / vec_3[2]
        if 0 <= u and u <= 1 and 0 <= v and v <= 1 and 0 <= (1-u-v) and (1-u-v) <= 1:
            pixels[i, j] = ti.Vector([255, 0, 0])

以下是扫描十万个三角形生成的图片

扫描线算法

  扫描线算法会利用到像素之间相似性的规律，只需要计算出两个交点，在两个交点之间的很多像素都是在三角形内部，不需要对每个像素都单独进行判断，所以可以减少很多计算量。主要将三角形分成平顶或者平底的，然后任意三角形可以拆分成两个三角形的组合。


  之后逐行扫描平顶或者平底三角形，光栅化平底三角形的原理很简单，就是从上往下画横线。在图里我们取任意的一条光栅化直线，这条直线左边的端点x值为XL，右边的为XR。