agc027D Modulu Matrix

agc027D Modulu Matrix

• 构造一个$n\ast n$的矩阵$a$，满足没有两个元素相等，$a_{i,j}\le 1e15$。

• 对于所有相邻的格子值为$x,y$，满足$max(x,y)\%min(x,y)$全部为某一个固定的值$m$。

• $n\le 500$

Solution

• 对于这一类构造题，可以先思考一种简单的能够得到答案的通解，我们寻求的方法应该是简单、普遍的（有的时候需要一点分类讨论），然后再进行一些转化来优化构造的答案模型。一般来说不会有很复杂的模型，主要要培养构造的感觉。

• 注意到影响是相邻的，我们可以黑白染色（二分图），确定所有白点的数值，那么可以钦定每一个黑点的值是$lcm(a_x)+1(x是周围的白点)$.

• 但是我们怎么保证不重复呢？

• 我们不妨假设所有白色点全部选质数，这样任意四个白点的乘积都不一样（可能需要对2特判）。

• 如果直接搞$n^2$个素数是不能满足1e15的，注意到我们求的是lcm，我们可以适当放一些重复的元素，也就是说，把每一个格子表示成两个素数的乘积。

• 只需要按照对角线乘同一个素数，两种对角线分别乘即可。

• 这样构造是不会超过1e15的。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 505
#define maxm 5000005
#define ll long long 
using namespace std;

int n,i,j,k;
int tot,pri[maxm],bz[maxm];
ll a[maxn][maxn];

void getpri(){
    
    
	for(int i=2;i<maxm;i++){
    
    
		if (!bz[i]) pri[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxm;j++){
    
    
			bz[i*pri[j]]=1;
			if (i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

ll gcd(ll x,ll y){
    
    return (x%y==0)?y:gcd(y,x%y);}
ll lcm(ll x,ll y){
    
    return x/gcd(x,y)*y;}

ll Lcm(ll a,ll b,ll c,ll d){
    
    
	ll x=1;
	if (a) x=lcm(x,a);
	if (b) x=lcm(x,b);
	if (c) x=lcm(x,c);
	if (d) x=lcm(x,d);
	return x;
}

int main(){
    
    
	freopen("ceshi.in","r",stdin);
//	freopen("ceshi.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n),getpri(),k=0;
	if (n==2) printf("5 4\n2 3\n"),exit(0);
	for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) a[i][j]=1;
	for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if ((i+j)%2==0) a[i][j]*=pri[(i+j)/2];
	for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if ((i+j)%2==0) a[i][j]*=pri[(i-j+n-(n&1))/2+n];
	for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if ((i+j)%2)
		a[i][j]=Lcm(a[i-1][j],a[i][j-1],a[i+1][j],a[i][j+1])+1;
	for(i=1;i<=n;i++,printf("\n")) for(j=1;j<=n;j++) printf("%lld ",a[i][j]);
}