C语言实现逆幂法求矩阵解特征值

问题描述

逆幂法用于计算非奇异阵$A$的按模最小的特征值和特征向量。

算法思想

实际计算中，可以构造以下迭代格式：
$$\{\begin{array}{l}L{\bar{y}}_k=z_{k-1}\\ U{y}_k={\bar{y}}_k\\ m_k=\max (y_k{)}_i\\ z_k=y_k/m_k\end{array}(1<=i<=n)$$
其中$L$是下三角矩阵，$U$是上三角矩阵， $A^{-1}$的最大特征值是$\frac{1}{{\lambda }_n}$，若
$$0<|{\lambda }_n|<|{\lambda }_{n+1}|,k\to \infty$$
$$\{\begin{array}{l}{m}_k\to \frac{1}{{\lambda }_n}\\ z_k\to x_n/\max (x_n)\end{array}$$

测试数据

已知特征值$12$,初始迭代向量$(1,1,1)$和矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 4\\ 1& 10& 1\\ 4& 1& 10\end{array}\right]$$

C语言代码

头文件

#ifndef NPOWERWAY_H_INCLUDED
#define NPOWERWAY_H_INCLUDED
#endif // NPOWERWAY_H_INCLUDED
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<math.h>
#define MaxSize 100
#define e 1e-6
double A[MaxSize][MaxSize];
double L[MaxSize][MaxSize];
double R[MaxSize][MaxSize];
double T[MaxSize][MaxSize];
double Z[MaxSize];
double Z1[MaxSize];
double Z2[MaxSize];
double Z3[MaxSize];
int n;//矩阵尺寸大小
double m;

void InitMatrix()
{
    
    
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)//计算A-m*E
     for(j=0;j<n;j++)
     {
    
    
        if(i==j)
        A[i][j]=A[i][j]-m;
     }
     //
    for(i=0;i<n;i++)
     for(j=0;j<n;j++)
     {
    
    
        if(i==j)
        {
    
    
            L[i][j]=1;
            R[i][j]=A[i][i];
        }
        if(i<j)
            L[i][j]=0;
        if(i>j)
            R[i][j]=0;
     }
}
void Doolittle()
{
    
    
    int i,j,k;
    for(k=0;k<n;k++)
    {
    
    
      for(i=k;i<n;i++)//此处i是从k开始循环，若从0
      {
    
    //开始循环，那么L上半部分非0
        double sum1=0;
        for(j=0;j<k;j++)
         sum1=sum1+L[k][j]*R[j][i];
         R[k][i]=A[k][i]-sum1;
      }
       for(i=k+1;i<n;i++)//此处i是从k+1开始循环，若从0
      {
    
    
        double sum2=0;
        for(j=0;j<k;j++)
         sum2=sum2+L[i][j]*R[j][k];
         L[i][k]=(A[i][k]-sum2)/R[k][k];
      }
    }



}
void npowerway1()
{
    
    
    int i,j,k;
    double max,sum,sum1;
     for(k=1;k<100;k++)
     {
    
    
       for(i=0;i<n;i++)
        Z1[i]=Z[i];//储存上一次迭代结果
       for(i=0;i<n;i++)
       {
    
    //计算Y(k)一拔,本程序中Z2
        sum1=0;
        for(j=0;j<i;j++)
            sum1=sum1+L[i][j]*Z2[j];
        sum1=Z1[i]-sum1;
        Z2[i]=sum1/L[i][i];
       }
       for(i=n-1;i>=0;i--)
       {
    
    //计算Y(k),本程序中Z3
        sum=0;
        for(j=n-1;j>i;j--)
            sum=sum+R[i][j]*Z3[j];
        sum=Z2[i]-sum;
        Z3[i]=sum/R[i][i];
       }
       for(i=0;i<n;i++)
        Z[i]=Z3[i];
       max=Z[0];
       for(i=0;i<n;i++) //寻找Z的优势分量
       {
    
    
        if(Z[i]>max)
            max=Z[i];
       }
       printf("第%d次迭代后特征值为：%lf\n",k,1/max+m);
       printf("第%d次迭代后归一化Z向量为：\n",k);
       for(i=0;i<n;i++) //Z向量归一化处理
       {
    
    
         Z[i]=Z[i]/max;
         printf("%lf\n",Z[i]);
       }
       printf("\n");
       int flag=0;
       for(i=0;i<n;i++)
        if(fabs(Z[i]-Z1[i])<e)
            flag++;
        if(flag==n)
        {
    
    
        printf("第%d次迭代满足精度！",k);
        printf("满足精度的特征值为:   %lf\n",1/max+m);
        printf("该特征值对应的特征向量为：\n");
        for(i=0;i<n;i++)
            printf("%lf\n",Z[i]);
            break;
        }

     }

}


void input()
{
    
    

    int i,j;
    printf("请输入矩阵行数：\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("请输入已知特征值：\n");
    scanf("%lf",&m);
    printf("请输入初始迭代向量：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%lf",&Z[i]);
    printf("请输入待分解矩阵A：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        scanf("%lf",&A[i][j]);

}

void print()
{
    
    

    int i,j;
    printf("下三角矩阵L：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
    {
    
    
        for(j=0;j<n;j++)
        printf("%lf   ",L[i][j]);
        printf("\n");
    }
printf("上三角矩阵R：\n");

    for(i=0;i<n;i++)
    {
    
    
      for(j=0;j<n;j++)
      printf("%lf   ",R[i][j]);
      printf("\n");
    }
printf("\n");

}

void npowerway()
{
    
    

    input();
    InitMatrix();
    Doolittle();
    npowerway1();
   print();

}

源文件

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include"npowerway.h"
#include<windows.h>

int main()
{
    
    
    npowerway();
    return 0;
}

实验结果