NOI Online #1 提高组 T1 序列

原题连接

简洁描述：

一个数列有两种操作，一是两个数同时加或减一个数，二是两个数一个加一个减，求能不能从序列$a$变成序列$b$

分析：

这个题目可以发现如果两个数被赋予了操作二，则两个数可以互帮互助，可以组成和为$a_u+a_v$的任意一个组合。这时候只要$b_u+b_v$等于$a_u+a_v$即可。
那么如果是操作一呢？我们可以发现，如果有两个操作一$(u,v)$和$(v,k)$，则把第一个进行操作，第二个做第一个的逆操作，则变成了进行操作二的$(u,k)$。于是，一个$u$连接的一些$v$，那么这些$v$之间都是可以用操作二连接的。
考虑建图，$u$向$v$连无向边即可。那么回到操作二，这个操作没办法直接连边，所以可以设置一个点$k$，$a_k=b_k=0$，这样$k$就是两个操作一中间的$v$一样。就可以$u\to k$和$v\to k$连两条无向边即可。
再考虑建立操作二的关系。两个儿子之间都是需要连边的。为了判断两个点之间的关系，可以用并查集解决。于是就把所有儿子用并查集连起来。一个集合里面的和可以累加到一块，因为里面都是可以做出任何一种和为${\sum }_{v\in V}{a}_v$的序列。当然，目标也要求和。
接下来考虑判断正确性。我们知道，$u\to v$之间有边，则这两个是有一个操作一的。那么对于每一个$u$就出现了三种情况：

• 断子绝孙：不能进行任何操作，所以只用判断$a==b$即可。
• 一家人：和儿子是同一个集合，则$u$只能在这个集合内部进行偶数的加减，所以要保证$b-a$是偶数。
• 陌生人：属于不同的集合。所以$u$可以在两个集合一起加上或减去$1$，则要求两个集合$a$，$b$的差是相同的。

最后，每条边计算完还没有输出$NO$就是$YES$了。
并查集时间复杂度很快，时间复杂度$O(n)$，最快是$\Omega (1)$，平均时间复杂度一般在$\Theta (7)$左右，所以可以当成常数看。总时间复杂度$\Theta (n+m)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int NN=200004,MM=400004;
int n,m;
int tot,head[NN],to[MM],nxt[MM],fa[NN];
long long a[NN],b[NN];
struct node
{
    
    
    int t,u,v;
}p[NN];
int find(int x)
{
    
    
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void add(int x,int y)
{
    
    
    tot++;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    to[tot]=y;
}
int main()
{
    
    
	int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
    
    
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n+m;i++)
        	fa[i]=i;
    	memset(head,0,sizeof(head));
    	tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lld",&b[i]);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
    
    
            scanf("%d%d%d",&p[i].t,&p[i].u,&p[i].v);
            a[i+n]=b[i+n]=0;
            if(p[i].t==1)
            {
    
    
                add(p[i].u,p[i].v);
                add(p[i].v,p[i].u);
            }
            else
            {
    
    
                add(i+n,p[i].v);
                add(p[i].v,i+n);
                add(i+n,p[i].u);
                add(p[i].u,i+n);
            }
        }
        for(int i=1;i<=n+m;i++)
        {
    
    
            int k=0;
            for(int j=head[i];j;j=nxt[j])
            {
    
    
                int v=to[j];
                if(k)
                {
    
    
                    int x=find(k),y=find(v);
				    if(x==y)
						continue;
				    a[x]+=a[y];
				    b[x]+=b[y];
				    fa[y]=x;
				}
                k=v;
            }
        }
        bool flag=true;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
    
    
            int j=to[head[i]];
            if(!head[i])
            {
    
    
                if(a[i]!=b[i])
                {
    
    
                    flag=false;
                    break;
                }
                continue;
            }
            int l=find(i),r=find(j);
            if(l==r)
            {
    
    
                if((a[l]-b[l])&1)
                {
    
    
                    flag=false;
                    break;
                }
                continue;
            }
            if(a[l]-b[l]!=a[r]-b[r])
            {
    
    
                flag=false;
                break;
            }
        }
        puts(flag?"YES":"NO");
    }
    return 0;
}