算法设计专栏开启：传输门
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最大子段和
题面： 给定整数数组a[n]，求它的连续子段和的最大值，当所有整数均为负数为时和为0。
分析： 设dp[i]表示以数字a[i]结尾的子段的和的最大值，那么dp[i] = max(a[i], a[i]+dp[i-1])。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int a[50005], n;
LL ans, dp[50005];
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i] = max(dp[i-1] + a[i], (LL)a[i]);
ans = max(ans, dp[i]);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
循环数组最大子段和
题面： 给定整数构成的循环数组a[n]，求它的连续子段和的最大值，当所有整数均为负数时和为0。
分析： 如果取到最优值时没有跨过首尾元素，那么可当成普通数组的最大子段和来做；反之，可按普通数组求最小子段和，再用总和减去最小子段和即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n, a[50005], dp1[50005], dp2[50005];
LL ans1, ans2, sum;
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
sum += a[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp1[i] = max(0LL, max(a[i], a[i]+dp1[i-1]));
ans1 = max(ans1, dp1[i]);
dp2[i] = min(0LL, min(a[i], a[i]+dp2[i-1]));
ans2 = min(ans2, dp2[i]);
}
cout << max(ans1, sum-ans2) << endl;
return 0;
}
最小正子段和
题面： 给定整数数组a[n]，从中选出一个子序列，要求该序列的和大于0，且最小。
分析： 预处理出前缀和，二分查找。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n, a[50005], p[50005], ans = LLONG_MAX;
map<LL,LL> mp;
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
p[i] = a[i] + p[i-1];
mp[p[i]] = i;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
auto it = mp.upper_bound(p[i-1]);
if (it != mp.end() && it->second >= i) {
ans = min(ans, it->first - p[i-1]);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
最大子矩阵和
题面：给出m*n的矩阵，找一个子矩阵，要求该子矩阵的元素之和最大。
分析：枚举子矩阵的行上下边界，固定行后求出各列元素之和，转化为一维的最大子段和问题可得到最优解的列范围。可预处理出各列的前缀和，便于快速算出指定行范围内各列元素之和。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL m, n, a[505][505], d[505][505], x[505], dp[505], ans;
int main() {
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> a[i][j];
for (int j = 1; j <= m; j++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
d[i][j] = a[i][j] + d[i-1][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i; j <= n; j++) {
for (int k = 1; k <= m; k++)
x[k] = d[j][k] - d[i-1][k];
for (int k = 1; k <= m; k++) {
dp[k] = max(x[k], x[k] + dp[k-1]);
ans = max(ans, dp[k]);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
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