分而治之：逆序对计数问题
问题：
输入一个长度长度为n的数组A[n]，求出数组A[n]逆序对的总数。
输入：
长度为n的数组A[n]
输出：
数组A[n]逆序对的总数
问题分析：
- 把数组A二分为两个子数组A[1…n/2],A[n/2 + 1…n]
- 递归求解子问题
求解S1∶仅在A[1…n/2]中的逆序对数目
求解S2∶仅在A[n/2+1…n]中的逆序对数目 - 合并A[1…n/2]和A[n/2 +1…n]的解
求解S3∶跨越子数组的逆序对数目
S = S1+S2+S3
与最大子数组的问题一样，执行效率的瓶颈值也在合并方面，也就是S3跨越子数组的逆序对数目的求解问题。
S3的求解：
1. 策略一:直接求解
(1)对每个Aj]∈ A[m +1…n]，枚举A[i]∈ A[1…m]并统计逆序对数目
(2)求解S的算法运行时间:O(n2)
直接求解的运行时间不是很理想，所以，有没有更好的方法呢？
2. 策略二:排序求解
(1)分别对数组A[1…m]和A[m+ 1…n]进行排序；
(2)对于每个A[ j ]∈A[m+1…n]，采用二分查找为其在A[1…m]中定位；
(3)A[ j ]在A[1…m]定位点右侧的元素均可与A[ j ]构成逆序对；
(4)求解S的算法运行时间:O(nlogn)。
排序求解S的分而治之提高了算法运行时间，但仍然还有优化的可能；
3. 策略三:归并求解
(1)从左到右扫描有序子数组:A[i]∈A[1…m]，A[j] ∈ A[m+1…n]
···如果A[i] > A[j]，统计逆序对，j向右移
···如果A[i] ≤ A[j]，i向右移
(2)利用归并排序框架保证合并后数组的有序性
(3)S时间复杂度降至O(n)
算法分析图：
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 10000;
int a[N],b[N];
int count;
void Merge(int a[], int l, int mid , int r) //归并排序的合并部分
{
int i = l, j = mid + 1,k = l;
//遍历统计逆序数对
while(i <= mid&&j <= r){
if(a[i] <= a[j])
b[k++] = a[i++];
else{
count += j - k;
b[k++] = a[j++];
}
}
while(i <= mid) //左半部分排序
b[k++] = a[i++];
while(j <= r) //右半部分排序
b[k++] = a[j++];
for(int i = l; i <= r; i++) //从辅助空间复制回 a 数组
a[i] = b[i];
}
void MergeSort(int a[], int l, int r) //归并排序
{
if(l < r){
int mid = l + (r-l)/2;
MergeSort(a,l,mid); // 左半部分递归求解
MergeSort(a,mid+1,r); // 右半部分递归求解
Merge(a,l,mid,r); // 合并前后两个部分
}
}
int main(){
int n;
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
MergeSort(a,0,n-1);
cout << count;
return 0;
}
例题：求逆序数
题目描述
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
现在，给你一个N个元素的序列，请你判断出它的逆序数是多少。
比如 1 3 2 的逆序数就是1。
输入
第一行输入一个整数T表示测试数据的组数（1<=T<=5)
每组测试数据的每一行是一个整数N表示数列中共有N个元素（2〈=N〈=1000000）
随后的一行共有N个整数Ai(0<=Ai<1000000000)，表示数列中的所有元素。
数据保证在多组测试数据中，多于10万个数的测试数据最多只有一组。
输出
输出该数列的逆序数
样例输入
2
2
1 1
3
1 3 2
样例输出
0
1
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define max 1000001
long long a[max],b[max];
long long count;
void Merge(long long a[], int l, int mid , int r) //归并排序的合并部分
{
int i = l, j = mid + 1,k = l;
//遍历统计逆序数对
while(i <= mid&&j <= r){
if(a[i] <= a[j])
b[k++] = a[i++];
else{
count += j - k;
b[k++] = a[j++];
}
}
while(i <= mid) //左半部分排序
b[k++] = a[i++];
while(j <= r) //右半部分排序
b[k++] = a[j++];
for(int i = l; i <= r; i++) //从辅助空间复制回 a 数组
a[i] = b[i];
}
void MergeSort(long long a[], int l, int r) //归并排序
{
if(l < r){
int mid = l + (r-l)/2;
MergeSort(a,l,mid); // 左半部分递归求解
MergeSort(a,mid+1,r); // 右半部分递归求解
Merge(a,l,mid,r); // 合并前后两个部分
}
}
int main(){
int n;
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d",&a[i]);
MergeSort(a,0,n-1);
printf("%lld\n",count);
return 0;
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d",&n);
while(n--){
scanf("%d",&m);
count = 0;
for(int i = 0; i < m; i++)
scanf("%d",&a[i]);
MergeSort(a,0,m-1);
printf("%lld\n",count);
}
return 0;
}