图像加密之灰度加密：基于 密钥 × 解钥 ≡ 1 mod 灰度级 的一轮加密算法原理和步骤

算法基础

  给定数$p$和数$G$，考虑同余式
$$px\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$
当$\gcd \left(p,G\right)|1$即$\gcd \left(p,G\right)=1$时同余式有解，记该解为
$$x\equiv q\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$
$\forall a\in \mathbb{Z}$，记$pa\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G=b$，即有
$$pa\equiv b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$
则有
$$qb\equiv q\left(pa\right)=\left(pq\right)a\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$

模灰度级加密算法

  给定一幅尺寸为$M\times N$（单位：像素）的图像$I$，确定其灰度级数$G$（通常是$2$的$n$次幂，例如$2$的$8$次幂，即256）。

  密钥：$p\in \mathbb{Z}$，满足$\gcd \left(p,G\right)=1$

  解钥：$q\in \mathbb{Z}$，通过解$pq\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$求出。

加密过程

1. 将明文$I$加密为密文$I_1$，$I_1$也是一个尺寸为$M\times N$，灰度级为$G$的图像，且每个像素处的灰度值$I_1\left(i,j\right)$为
   $$I_1\left(i,j\right)=I\left(i,j\right)\times p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G,i=0,1,\cdots ,M-1,j=0,1,\cdots ,N-1$$

2. 解密密文$I_1$得到明文$I$，每个像素处的灰度值$I\left(i,j\right)$为
   $$I\left(i,j\right)=I_1\left(i,j\right)\times q\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G,i=0,1,\cdots ,M-1,j=0,1,\cdots ,N-1$$

  由上面的步骤可知，这是一种在图像空间域上的加密，是一种仅改变像素灰度值的加密，解密图像与原图没有差异。由于密钥和解钥一般不相等，因此也是一种公钥加密。

Matlab代码（以灰度级为$2^8=256$的图像为例）

I = imread('待读入的图像路径+名称');  % 读入图像
G = 256;  % 确定灰度级，默认图像是8位的，即灰度级是2^8=256
p = 5;  % 确定密钥

% 检验密钥p与灰度级G的最大公因数是否为1
if gcd(p, G) ~= 1
    error('密钥p与灰度级G的最大公因数不是1，不存在解钥');
end

% 展示原图像
figure, imshow(I);

% 将图像I进行加密得到密文I1, 并可视化
I1 = mod( double(I) * p, G );
figure, imshow( uint8(I1) );

% 利用简单的循环迭代找出解钥q
% 因为gcd(p, 256) = 1, 因此p一定是奇数。
% 又由于pq mod256 = 1, 因此q也一定是奇数。
q = 1;
while mod( p*q, G ) ~= 1
    q = q + 2;
end

% 将密文I1解密得到I2, 并可视化
I2 = mod( I1 * q, G );
figure, imshow( uint8(I2) );

% 比较原图像I 与 解密得到的I2 是否一致（即该算法是否有损）
% 使用isequal(), 该函数返回真值当且仅当两个矩阵相同索引处的值均相等
if isequal( double(I), I2 )
    disp('解密得到的图像与原图像一致');
else
    disp('解密得到的图像与原图像不一致');
end