数论 质因数分解 试除法

AcWing 867. 分解质因数
由于我是我们队的数论选手，寒假刷题会略偏向于数论方面QWQ，在此记录 2021-01-11 刷题打卡~

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

void divide(int n) {
    
    
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
    
    
        if(n % i == 0) {
    
       // i 一定是质数
            int s = 0;
            while( n % i == 0) {
    
    
                n /= i;
                s++;
            }
            printf("%d %d\n",i,s);
        }
    }
    // 对于任意一个正整数数n，最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子
    // 利用质因数的这一性质，可以有效降低复杂度
    // 但是最后需要写一个判断，判断 n 是否为 1 
    // 如果 n > 1 ，则 n 确实有一个大于sqrt(n)的质因子
    if(n > 1) {
    
    
        printf("%d %d\n",n,1);
    }
}

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
    
    
        int num;
        cin >> num;
        divide(num);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

知识点：
1.什么是质因数？

• 质因数（也称为素因数或质因子）
• 在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。
• 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；而这个因数一定是一个质数。
• 质因数就是一个数的约数，并且是质数。

2.质因数的一个很特殊的性质：也是优化试除法的关键所在
对于任意一个正整数数n， 最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子
证明过程：
反证法，如果存在两个的话，这两个质因数相乘，结果必然大于n，与实际情况不符，因此只有一个。

3.关于判断质数的试除法，和质因数分解的试除法的比较：
判断质数的试除法，时间复杂度一定是 O(sqrt(n))
质因数分解的试除法，时间复杂度是介于 O(log n) ~ O(sqrt(n)) 之间的，例如：加入这个数是 2 ^ k ，是只用循环 k 次的。