【Ybt OJ】[基础算法 第1章]递推算法

$「$基础算法$」$第1章 递推算法
目录：

A.错排问题
B.奇怪汉诺塔
C.数的划分
D.传球游戏
E.平铺方案

$A.$ 例题$1$ 错排问题

洛谷$link$

分析：

考虑第$n$个元素 放在$k$位上 那么有$(n-1)$种方案$(k\ne n)$
再考虑这个$k$ 当它在$n$位时 就有由于$n,k$两元素位置相同 其他$n-2$个元素错排即可
当$k$不在$n$位时 直接$n-1$个元素错排
递推式：$f_n=(n-1)\ast (f_{n-1}+f_{n-2})$

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;
long long f[25];
int main(){
    
    
	scanf("%d",&n);
	f[1]=0;f[2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++)
		f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);  //递推
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}

$B.$ 例题$2$ 奇怪汉诺塔

分析：

看到这个$n$这么小 直接打表
考虑只有$3$座塔的汉诺塔问题 设$f_n$为$n$盘子$3$塔的最优步数
先把$n-1$个盘子移到$B$塔 则步数为$f_{n-1}$ 再把$A$塔上$1$个盘子移到$C$塔 步数为$1$
最后把$B$塔上$n-1$盘子移到$C$塔 步数为$f_{n-1}$
最终递推式：$2\ast f_{n-1}+1$ 那么这道题就可以转化过来
$f_n$表示$n$盘子$4$塔的最优步数 先将$j$个盘子从$A$移到$B$ 步数为$f_j$ 将剩下$n-j$个盘子移到$D$
剩余三塔 就可以用上面的递推式预处理出这个$f_{n-j}$
最后将$B$的$j$个盘子移到$D$ 步数为$f_j$
再把它们加起来取$min$即可.

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int d[13],f[13];
int main(){
    
    
	d[1]=1;
	for(int i=2;i<=12;i++)
		d[i]=2*d[i-1]+1;  //预处理三塔步数
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=12;i++)
	{
    
    
		f[i]=0x3f3f3f3f;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			f[i]=min(f[i],2*f[j]+d[i-j]);  //最终递推式
	}
	for(int i=1;i<=12;i++) printf("%d\n",f[i]);
	
	return 0;
}

$C.$ 例题$3$ 数的划分

洛谷$link$

分析：

可以$dfs$ 但时效不够有$200$~$300ms$
设$f_{i,j}$表示整数$i$分为$j$份的方案数
那么显然$i<j$时 $f_{i,j}=0$ ; $i=j$时 $f_{i,j}=1$

其他状态：

有$1$就拆$1$ 那么$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}$ 没有$1$就在$f_{i-j,j}$的基础上加$1$
递推式：$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j}$

CODE：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm> 
#include<cstring>
#define reg register
using namespace std;
int n,k,f[205][12];
int main()
{
    
    
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(reg int i=1;i<=n;i++)
		for(reg int j=1;j<=k;j++)
	 	{
    
    
	 		if(i==j) f[i][j]=1;
	 		else if(i<j) f[i][j]=0;
	 		else f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];	
		}
	printf("%d",f[n][k]);
	return 0;
} 

$D.$ 例题$4$ 传球游戏

洛谷$link$

分析：

我们设$f_{i,j}$表示经过$i$轮传递到第$j$个同学的方案数
由于球可以从第$j-1$和$j+1$个同学传过来
故有递推式：$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j+1}$
但由于这些人坐成了一个环 我们需特别处理一下第$n$位和第$1$位即可.

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,f[50][50];
int main(){
    
    
	scanf("%d%d",&n,&m);
	f[0][1]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
    
    
			if(j==1) f[i][j]=f[i-1][n]+f[i-1][j+1];
			else if(j==n) f[i][j]=f[i-1][n-1]+f[i-1][1];  //特别处理
			else f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1];
		}
	printf("%d",f[m][1]);
	
	return 0;
}

$E.$ 例题$5$ 平铺方案

分析：

设$f_i$表示平铺$2\ast i$矩形的方案数 分类：
在$f_i$放置一个竖的$2\ast 1$矩形 方案数为$f_{i-1}$
在$f_i$与$f_{i-1}$放置一个$2\ast 2$的矩形 方案数为$f_{i-2}$
在$f_i$与$f_{i-1}$放置两个横的$2\ast 1$矩形 方案数为$f_{i-2}$
递推式：$f_i=2\ast f_{i-2}+f_{i-1}$
注意$n<=250$ 做高精

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
struct node{
    
    
	int val[103];
}a[255]; 
void add(int x)
{
    
    
	for(int i=1;i<=100;i++)  //100位数字 随便开
	{
    
    
		a[x].val[i]+=a[x-2].val[i]*2+a[x-1].val[i];  //递推式
		a[x].val[i+1]=a[x].val[i]/10;  //高精
		a[x].val[i]%=10;
	}
}
void print(int x){
    
    
	int p=100;
	while(a[x].val[p]==0) p--;
	while(p)
	{
    
    printf("%d",a[x].val[p]);p--;}  //输出
	printf("\n"); 
}
int main(){
    
    
	a[0].val[1]=a[1].val[1]=1;
	a[2].val[1]=3;
	for(int i=3;i<=250;i++)	add(i);
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
		print(n);
	return 0;
}