算法复习——分而治之篇之最大子数组问题

算法复习——分而治之篇之最大子数组问题

以下内容主要参考中国大学MOOC《算法设计与分析》，墙裂推荐希望入门算法的童鞋学习！

1. 问题背景

子数组：数组中连续的一段序列，例如$X[3..7]$；

子数组和：子数组中元素的求和，$X[3..7]$的和就是$3+5-4+3+2=9$；

​ 那么，问题就是如何寻找数组$X$中最大的非空子数组？

2. 问题定义

最大子数组问题（Max Continuous Subarray）

输入：

• 给定一个数组$X[1..n]$，对于任意一对数组下标为$l,r(l\le r)$的非空子数组，其和记为$S(l,r)={\sum }_{i=l}^{r}X[i]$

输出：

• 求出$S(l,r)$的最大值，记为$S_{max}$

3. 分而治之

分而治之的一般步骤是：分解原问题、解决子问题、合并问题解。

• 分解原问题：将数组$X[1..n]$分为$X[1..\frac{n}{2}]$和$X[\frac{n}{2}+1..n]$；

• 解决子问题：

  • $S_1$：数组$X[1..\frac{n}{2}]$的最大子数组；
  • $S_2$：数组$X[\frac{n}{2}+1..n]$的最大子数组；

• 合并问题解：得到$S_{max}$

  • $S_3$：跨中点的最大子数组。
  • 数组$X$的最大子数组之和 S m a x = m a x { S 1 , S 2 , S 3 } S_{max}=max\{S_{1}, S_{2}, S_{3}\} Smax​=max{ S1​,S2​,S3​}。

子问题可以通过递归的方式进行求解；那么，问题就聚焦在如何合并问题解，求解$S_3$？

求解$S_3$：

​ 分解问题时，我们在$mid=\frac{n}{2}$处将数组分成了左右部分，分别得到了左右部分的最大子数组和，那现在我们要求跨中点的最大子数组，也就说必须该最大子数组必须包含$X[mid]$和$X[mid+1]$。

​ 因此，我们可以用$Left$来表示以$X[mid]$为结尾的最大子数组之和，用$Right$来表示以$X[mid+1]$为开头的最大子数组之和，则$S_3=Left+Right$。

​ 求解$Left$可以从$X[mid]$向前遍历求和，并记录最大值；求解$Right$可以从$X[mid+1]$向后遍历求和，并记录最大值。因此，求解$S_3$的时间复杂度是$O(n)$。

4. 伪代码

初始调用$MaxSubArray(X,1,n)$

MaxSubArray(X, low, high)

输入：数组$X$，数组下标$low$， $mid$

输出：最大子数组之和$S_{max}$

if low = high then
	return X[low]
end
else
	mid ← (low + high) // 2
	S_1 ← MaxSubArray(X, low, mid)
	S_2 ← MaxSubArray(X, mid+1, high)
	S_3 ← CrossingSubArray(X, low, mid, high)
	S_max ← max{S_1, S_2, S_3}
	return S_max
end

CrossingSubArray(X, low, mid, high)

输入：数组$X$，数组下标$low$，$mid$，$high$

输出：跨越中点的最大子数组之和$S_3$

S_left ← -∞
Sum ← 0
for l ← mid downto low do
	Sum ← Sum + X[l]
	S_left ← max{S_left, Sum}
end
S_right ← -∞
Sum ← 0
for r ← mid+1 to high do
	Sum ← Sum + X[r]
	S_right ← max{S_right, Sum}
end
S_3 ← S_left + S_right
return S_3

​ 基于以上的伪代码，可以进行时间复杂度分析，得到$T(n)$的递归式。
$$T(n)=\{\begin{array}{rcl}1,& & n=1\\ 2T(\frac{n}{2})+O(n),& & n>1\end{array}$$
​ 所以，使用主定理，可以直接求得$T(n)=nlogn$。