Codeforces 题解 —— Row GCD —— 数学题

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题目链接

Codeforces Round #691 (Div. 1) https://codeforces.com/problemset/problem/1458/A。

Problem Statement

You are given two positive integer sequences $a_1,\dots ,a_n$ and $b_1,\dots ,b_m$. For each $j=1,\dots ,m$ find the greatest common divisor of $a_1+b_j,\dots ,a_n+b_j$.

Input

The first line contains two integers $n$ and $m$ ($1\le n,m\le 2\cdot 10^5$).
The second line contains n integers $a_1,\dots ,a_n$ ($1\le a_i\le 10^{18}$).
The third line contains m integers $b_1,\dots ,b_m$ ($1\le b_j\le 10^{18}$).

Output

Print $m$ integers. The $j$-th of them should be equal to $GCD(a_1+b_j,\dots ,a_n+b_j)$.

Sample Input

4 4
1 25 121 169
1 2 7 23

Sample Output

2 3 8 24

题解报告

题目翻译

给两个正整数序列 $a_1,\dots ,a_n$ 和 $b_1,\dots ,b_m$，求对于每个 $j=1,\dots ,m$ 的 $a_1+b_j,\dots ,a_n+b_j$ 最大公约数。

题目分析

本题是一个数学题。考点在于最大公约数的性质。由于数据量大，因此本题需要一个时间复杂度为 $O(N)$ 的算法。
我们需要使用最大公约数的两个性质：
1、结合律。 $gcd(a,b,c)=gcd(a,gcd(b,c))=gcd(gcd(a,b),c)$。
2、$gcd(a,b)=gcd(b,\frac{a}{b})=gcd(b,|a-b|)=gcd(a,|a-b|)$。
下面我们来推到一下 $gcd(a_1+b_j,\dots ,a_n+b_j)$ 如何计算，为了方便起见，我们推导 $gcd(a_1,a_2,a_3)$。
$$\begin{gathered} gcd(a_1,a_2,a_3)\Rightarrow gcd(a_2,a_1,a_3)\Rightarrow gcd(a_2,gcd(a_1,a_3)) \\ \Rightarrow gcd(a_2,gcd(a_1,|a_1-a_3|))\Rightarrow gcd(a_2,a_1,|a_1-a_3|) \\ \Rightarrow gcd(|a_1-a_3|,a_1,a_2)\Rightarrow gcd(|a_1-a_3|,gcd(a_1,a_2)) \\ \Rightarrow gcd(|a_1-a_3|,gcd(a_1,|a_1-a_2|))\Rightarrow gcd(|a_1-a_3|,a_1,|a_1-a_2|) \\ \Rightarrow gcd(a_1,|a_1-a_2|,|a_1-a_3|) \end{gathered}$$
根据上面的过程，我们可以得到 $gcd(a_1+b_1,a_2+b_1,a_3+b1,...,a_n+b_1)\Rightarrow gcd(a_1+b_1,|a_1+b_1-a_2-b_1|,|a_1+b_1-a_3-b_1|,...,|a_1+b_1-a_n-b_1|)\Rightarrow gcd(a_1+b_1,|a_1-a_2|,|a_1-a_3|,...,|a_1-a_n|)\Rightarrow gcd(a_1+b_1,gcd(|a_1-a_2|,|a_1-a_3|,...,|a_1-a_n|))$。因为根据数据输入，我们是先得到 $a_i$，因此我们可以先计算 $gcd(|a_1-a_2|,|a_1-a_3|,...,|a_1-a_n|)$，然后再计算最终的结果。

数据范围分析

根据题目给出的数据，需要使用 long long。

AC 代码

//https://codeforces.com/contest/1458/problem/A
//A. Row GCD
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//如果提交到OJ，不要定义 __LOCAL
//#define __LOCAL

typedef long long ll;
const int MAXN=2e5+4;
ll a[MAXN], b[MAXN];

int main() {
    
    
#ifndef __LOCAL
    //这部分代码需要提交到OJ，本地调试不使用
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#endif
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
        cin>>a[i];
    }

    ll g=0;
    for (int i=2; i<=n; i++) {
    
    
        g=__gcd(g, abs(a[i]-a[i-1]));
    }

    for (int i=1; i<=m; i++) {
    
    
        cin>>b[i];
        ll ans=__gcd(a[1]+b[i], g);
        cout<<ans<<" ";
    }

    cout<<"\n";

#ifdef __LOCAL
    //这部分代码不需要提交到OJ，本地调试使用
    system("pause");
#endif
    return 0;
}

时间复杂度

$O(max(n,m))$。

空间复杂度

$O(max(n,m))$。