夜深人静写算法（二）- 动态规划入门

一、前言

  不知道现在的你是否和我有同样的想法，就是对于一件事情，一直在犹豫到底要不要去做，如果你也有这样一件事情让你一直纠结着，那么我劝你，不要犹豫，立刻果断坚决的执行！因为最后的结果一定只有两个：做或是不做。任何的犹豫都是在浪费你的青春！
  就像我决定重新梳理 《夜深人静写算法》 系列一样，之前纠结了好久要不要重写，因为看到自己以前写的文章，就好像看到刚接触代码的自己，作为程序员，看到自己以前写的代码，只有一个想法，那就是重构！
  幸好这件事情没有让我纠结太久，一旦开始就意味着成功了一半，奔跑吧，少年，让天下没有难学的算法！

二、动态规划初探

1、递推

• 暂且先不说动态规划是怎么样一个算法，由最简单的递推问题说起应该是最恰当不过得了。
• 一来，递推的思想非常浅显，从初中开始就已经有涉及，等差数列 $f[i]=f[i-1]+d$（ $i>0$， $d$ 为公差，$f[0]$ 为初项）就是最简单的递推公式之一；
• 二来，递推作为动态规划的基本方法，对理解动态规划起着至关重要的作用。理论的开始总是枯燥的，所以让读者提前进入思考是最能引起读者兴趣的利器，于是【例题1】应运而生。

【例题1】在一个 3 X n 的长方形方格中，铺满 1 X 2 的骨牌（骨牌个数不限制），给定 n，求方案数（图一 -1-1为 n = 2 的所有方案），所以 n = 2 时方案数为 3 。

图二 -1-1

• 这是一个经典的递推问题，如果觉得无从下手，我们可以来看一个更加简单的问题，把问题中的 “3” 变成 “2”（即在一个 2 X n 的长方形方格中铺满 1 X 2 的骨牌的方案）。这样问题就简单很多了，我们用 $f[i]$ 表示 2 X i 的方格铺满骨牌的方案数，那么考虑第 i 列，要么竖着放置一个骨牌；要么连同 i-1 列，横着放置两个骨牌。
  

  图二 -1-2

• 如图二-1-2所示。由于骨牌的长度为1 X 2，所以在第i列放置的骨牌无法影响到第 i-2 列。很显然，图二 -1-2中两块黑色的部分分别表示 $f[i-1]$ 和 $f[i-2]$，所以可以得到递推式：

    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
    
    
         f[i] = f[i-1] + f[i-2];   
    }

• 再回头来看 3 X n 的情况，首先可以明确当 n 等于奇数的时候，方案数一定为 0。
• 所以如果用 $f[i]$ (i 为偶数) 表示 3 X i 的方格铺满骨牌的方案数，$f[i]$ 的方案数不可能由 $f[i-1]$ 递推而来。那么我们猜想 $f[i]$ 和 $f[i-2]$ 一定是有关系的，如图二 -1-3所示，我们把第 $i$ 列和第 $i-1$ 列用 1 X 2 的骨牌填满后，轻易转化成了 $f[i-2]$ 的问题，那是不是代表 $f[i]=3\ast f[i-2]$ 呢？
  图二 -1-3
• 仔细想想才发现不对，原因是我们少考虑了图二 -1-4的情况，这些情况用图一 -1-3的情况无法表示，再填充完黑色区域后，发现和 $f[i-4]$ 也有关系，但是还是漏掉了一些情况。
  图二 -1-4
• 上面的问题说明我们在设计状态时候的思维定式，当一维的状态已经无法满足我们的需求时，我们可以试着增加一维，用二维来表示状态，用 $f[i][j]$ 表示 $(3\times i)+j$ 个多余块的摆放方案数，如图二 -1-5所示：
  图二 -1-5
• 转化成二维后，我们可以轻易写出三种情况的递推式，具体推导方法见图二 -1-6。

    f[0][0] = f[1][1] = f[0][2] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
    
    
        f[i][0] = f[i-2][0] + f[i-1][1] + f[i-2][2]; 
        f[i][1] = f[i-1][2];
        f[i][2] = f[i][0] + f[i-1][1];
    }

图二 -1-6

• 如果 n 不是很大的情况，到这一步，我们的问题已经完美解决了，其实并不需要求它的通项公式，因为我们是程序猿，一个 for 循环就能搞定了，接下来的求解就全仰仗于计算机来完成了。

【例题2】对一个“01”串进行一次 μ 变换被定义为：将其中的 “0” 变成 “10”，“1” 变成 “01”，初始串为 “1”，求经过N(N <= 1000)次μ变换后的串中有多少对"00"（有没有人会纠结会不会出现"000"的情况？这个请放心，由于问题的特殊性，不会出现"000"的情况）。图二 -1-7表示经过小于4次变换时串的情况。

图二 -1-7

• 如果纯模拟的话，每次 μ 变换串的长度都会加倍，所以时间和空间复杂度都是 $O(2^n)$，对于 $n=1000$ 的情况，完全不可能计算出来。仔细观察这个树形结构，可以发现要出现 00，一定是 10 和 01 相邻产生的。为了将问题简化，我们不妨设：
  $$A=10,B=01$$

• 构造出的树形递推图如图二 -1-8所示，如果要出现 00，一定是 AB（1001）。
  

  图二 -1-8

• 令 $f[i][0]$ 为 A 经过 i 次 μ 变换后 00 的数量，则 $f[0][0]=0$，$f[i][1]$ 为 B 经过 i 次 μ 变换后 00 的数量，$f[0][1]=0$。

• 从图中观察得出，以A为根的树，它的左子树的最右端点一定是B，也就是说无论经过多少次变换，两棵子树的交界处都不可能产生AB，所以
  $$f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1]$$

• 而以 B 为根的树，它的左子树的右端点一定是A，而右子树的左端点呈BABABA…交替排布，所以隔代产生一次AB，于是 $$f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1]+(i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ 最后要求的答案就是 $FB[n-1]$，递推求解。

    f[0][0] = f[0][1] = 0;
    for(int i = 1; i <= 1000; i++) {
    
    
        f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][1];
        f[i][1] = f[i-1][0] + f[i-1][1] + (i % 2);
    }

2、状态和状态转移

• 在介绍递推的时候，涉及到一个词—状态，它表示了解决某一问题的中间结果，这是一个比较抽象的概念，例如【例题1】中的 $f[i][j]$，【例题2】中的 $f[i][0]$、$f[i][1]$，求解问题的时候，首先要设计出合适的状态，然后通过状态的特征建立状态转移方程（ $f[i]=f[i-1]+f[i-2]$ 就是一个简单的状态转移方程）。
• 下文第四节会图解常用的状态转移方程。

3、最优化原理和最优子结构

• 如果问题的最优解包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。这里我尽力减少理论化的概念，而改用一个简单的例题来加深对这句话的理解。

【例题3】给定一个长度为 $n(1<=n<=1000)$ 的整数序列 $a[i]$，求它的一个子序列 (子序列即在原序列任意位置删除0或多个元素后的序列)，满足如下条件：
1、该序列单调递增；
2、在所有满足条件 1 的序列中长度是最长的；

• 这个问题是经典的动态规划问题，被称为最长单调子序列。
• 我们假设现在没有任何动态规划的基础，那么看到这个问题首先想到的是什么？
• 我想到的是万金油算法—深度优先搜索（ $DFS$ ），即枚举 $a[i]$ 这个元素取或不取，所有取的元素组成一个合法的子序列，枚举的时候需要满足单调递增这个限制，那么对于一个 $n$ 个元素的序列，最坏时间复杂度自然就是 $O(2^n)$ ，$n=30$ 就已经很变态了更别说是 $1000$。
• 然而，方向是对的，动态规划求解之前先试想一下搜索的正确性，这里搜索的正确性是很显然的，因为已经枚举了所有情况，总有一种情况是我们要求的解。我们尝试将搜索的算法进行一些改进，假设第 i 个数取的情况下已经搜索出的最大长度记录在数组中，即用 $d[i]$ 表示当前搜索到的以 $a[i]$ 结尾的最长单调子序列的长度，那么如果下次搜索得到的序列长度小于等于 $d[i]$，就不必往下搜索了（因为即便继续往后枚举，能够得到的解必定不会比之前更长）；反之，则需要更新 $d[i]$ 的值。
• 如图二-3-1，红色路径表示第一次搜索得到的一个最长子序列1、2、3、5，蓝色路径表示第二次搜索，当枚举第3个元素取的情况时，发现以第3个数结尾的最长长度d[3] = 3，比本次枚举的长度要大（本次枚举的长度为2），所以放弃往下枚举，大大减少了搜索的状态空间。
  图二-3-1
• 这时候，我们其实已经不经意间设计好了状态，就是上文中提到的那个 $d[i]$ 数组，它表示的是以 $a[i]$ 结尾的最长单调子序列的长度，那么对于任意的 i，$d[i]$ 一定等于 $d[j]+1$ ( j < i )，而且还得满足 $a[j]<a[i]$。因为这里的 $d[i]$ 表示的是最长长度，所以 $d[i]$ 的表达式可以更加明确，即：
  $$d[i]=max(d[j]|j<i,a[j]<a[i])+1$$
• 这个表达式很好的阐释了最优化原理，其中 $d[j]$ 作为 $d[i]$ 的子问题，$d[i]$ 最长（优）当且仅当 $d[j]$ 最长（优）。当然，这个方程就是这个问题的状态转移方程。状态总数量 $O(n)$, 每次转移需要用到前 i 项的结果，平摊下来也是 $O(n)$ 的, 所以该问题的时间复杂度是$O(n^2)$。

4、决策和无后效性

• 一个状态演变到另一个状态，往往是通过“决策”来进行的。有了“决策”，就会有状态转移。而无后效性，就是一旦某个状态确定后，它之前的状态无法对它之后的状态产生“效应”（影响）。

【例题4】老王想在未来的n年内每年都持有电脑，$m(y,z)$ 表示第 $y$ 年到第 $z$ 年的电脑维护费用，其中 $y$ 的范围为 $[1,n]$，$z$ 的范围为 $[y,n]$，$c$ 表示买一台新的电脑的固定费用。 给定矩阵 $m$，固定费用 $c$，求在未来 $n$ 年都有电脑的最少花费。

• 考虑第 i 年是否要换电脑，换和不换是不一样的决策，那么我们定义一个二元组 $(a,b)$，其中 $a<b$，它表示了第 a 年和第 b 年都要换电脑（第 a 年和第 b 年之间不再换电脑），如果假设我们到第 a 年为止换电脑的最优方案已经确定，那么第 a 年以前如何换电脑的一些列步骤变得不再重要，因为它并不会影响第 b 年的情况，这就是无后效性。
• 接下来，会对这题进行一个详细的解释，当然看不懂没关系，可以跳过这个步骤，直接去看 第三章 - 动态规划的经典模型。毕竟，本文是入门级别的，后面还会花更多的时间来讲解动态规划的内容，可以和搜索一起逐步理解状态的概念。
• 更加具体得，令 $d[i]$ 表示在第 i 年买了一台电脑的最小花费(由于这台电脑能用多久不确定，所以第 i 年的维护费用暂时不计在这里面)，如果上一次更换电脑的时间在第 j 年，那么第 j 年更换电脑到第 i 年之前的总开销就是 $$c+m(j,i-1)$$
• 于是有状态转移方程：
  $$d[i]=min(d[j]+m(j,i-1)|1<=j<i)+c$$
• 这里的 $d[i]$ 并不是最后问题的解，因为它漏算了第 i 年到第 n 年的维护费用，所以最后问题的答案：$$ans=min(d[i]+m(i,n)|1<=i<n)$$
• 我们发现两个方程看起来很类似，其实是可以合并的，我们可以假设第 n+1 年必须换电脑，并且第 n+1 年换电脑的费用为 0，那么整个阶段的状态转移方程就是：$$d[i]=min(d[j]+m(j,i-1)|1<=j<i)+w(i)$$
  $$w(i)=\{\begin{array}{ll}c& i<n+1\\ 0& i=n+1\end{array}$$
• $d[n+1]$ 就是我们需要求的最小费用了。

三、动态规划的经典模型

• 本章节作者会通过图的方式，带读者了解一些基本模型，以加深对动态规划状态的理解；
• 黄色 ■ 代表当前状态；
• 绿色 ■ 代表子状态（已经求出的状态）；
• 红色 ■ 代表尚未求出的状态；
• 灰色 ■ 代表永远不存在的状态；

1、线性模型

• 线性模型是动态规划中最常见的模型，上文讲到的最长单调子序列就是经典的线性模型。
• 线性模型的状态一般是通过 一维数组表示的，如图三-1-1所示，图中黄色块的状态为$d[i]$，绿色块的状态为$d[j]$，并且满足$(j<i)$，只有当$d[j]$ 全部计算出来以后，$d[i]$的值才能够被确定。
  图三-1-1
• 线性模型最经典的问题莫过于 背包问题 了，介于篇幅较长，会在后续的章节进行详细讲解。

2、区间模型

• 对比线性模型，区间模型状态一般是通过：一个二维数组来表示的。

• 区间模型的状态表示一般为 $d[i][j]$，表示区间 $[i,j]$ 上的最优解，最终要求的肯定是 $[1,n]$ 的最优解。对于任意的 $d[i][j]$，最优解一定是从 $d[i+1][j]$、$d[i][j-1]$、$d[i+1][j-1]$ 转移过来的。

• 如图三-2-1所示，既然是表示区间，所以对于状态 $d[i][j]$，当 $i>j$时，肯定是不合法的状态，所以标记为灰色；$d[i][j]$ 表当前状态，标记为黄色；
  

  图三-2-1

• 区间模型相关的内容会在后续章节对区间模型进行展开论述。

3、树状模型

• 树形动态规划（树形DP），是指状态图是一棵树，状态转移也发生在树上，父结点的状态值通过所有子结点状态值计算完毕后得出，后续会专门开辟一个章节来讲述树形动态规划。
• 状态表示如图三-3-1所示。
  图三-3-1

4、状态压缩模型

• 状态压缩的含义其实是对状态进行重新编码，来看下面这个例子。
• 假设状态是一个五维的数组，并且每一维的取值为 $[0,3]$，状态表示如下：
  $$\begin{gathered} d[a][b][c][d][e] \\ (0<=a,b,c,d,e<=3) \end{gathered}$$
• 那么，写代码的过程中需要操作五维数组，十分繁琐，我们可以通过将状态压缩，将它重新编码到一个一维数组中。
• 其实只要能够找到一个映射函数，满足 $x$ 和 $(a,b,c,d,e)$ 一一映射，即：
  $$f(x)=(a,b,c,d,e)$$
• 因为每一维的取值为 $[0,3]$，我们可以把每一维当成是 4进制数的每一位，于是有：
  $$x=a\ast 4^4+b\ast 4^3+c\ast 4^2+d\ast 4^1+e\ast 4^0$$
• 那么，我们只需要用一个一维数组来表示状态即可：$d[x]$。

四、动态规划的常用状态转移方程

动态规划算法三要素（摘自黑书，总结的很好，很有概括性）：
  ①所有不同的子问题组成的表
  ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图
  ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；

• 则如果子问题的数目为 $O(n^t)$，每个子问题需要用到 $O(n^e)$ 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 $min$ 或 $max$ ）, $w(j,i)$为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。

1、1D/1D

$$d[i]=opt(d[j]+w(j,i)|0<=i<j)$$

• 状态转移如图四-1-1所示（黄色块代表$d[i]$，绿色块代表$d[j]$）：
  图四-1-1
• 这类状态转移方程一般出现在线性模型中。

2、2D/0D

$$d[i][j]=opt(d[i-1][j]+x_i,d[i][j-1]+y_j,d[i-1][j-1]+z_{ij})$$

• 状态转移如图四-2-1所示：
  

  图四-2-1

• 比较经典的问题是最长公共子序列问题。

3、2D/1D

$$d[i][j]=w(i,j)+opt(d[i][k-1]+d[k][j])$$

• 区间模型常用方程，如图四-3-1所示：
  

  四-3-1

• 另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
  $$d[i][j]=opt(d[i-1][k]+w(i,j,k)|k<j)$$

4、2D/2D

$$d[i][j]=opt(d[i^{\prime }][j^{\prime }]+w(i^{\prime },j^{\prime },i,j)|0<=i^{\prime }<i,0<=j^{\prime }<j)$$

• 如图四-4-1所示：
  四-4-1
• 常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
• 对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是$O(n^{t+e})$，空间复杂度是$O(n^t)$ 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。

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五、动态规划题集整理

1、递推

题目链接	难度	解法
Recursion Practice	★☆☆☆☆	几个初级递推
Put Apple	★☆☆☆☆
Tri Tiling	★☆☆☆☆	【例题1】
Computer Transformation	★☆☆☆☆	【例题2】
Train Problem II	★☆☆☆☆
How Many Trees?	★☆☆☆☆
Buy the Ticket	★☆☆☆☆
Game of Connections	★☆☆☆☆
Count the Trees	★☆☆☆☆
Circle	★☆☆☆☆
Combinations, Once Again	★★☆☆☆
Closing Ceremony of Sunny Cup	★★☆☆☆
Rooted Trees Problem	★★☆☆☆
Water Treatment Plants	★★☆☆☆
One Person	★★☆☆☆
Relax! It’s just a game	★★☆☆☆
Minimum Heap	★★★☆☆
N Knight	★★★☆☆
Connected Graph	★★★★★	楼天城“男人八题”之一

2、记忆化搜索

题目链接	难度	解法
Function Run Fun	★☆☆☆☆
FatMouse and Cheese	★☆☆☆☆	经典迷宫问题
Cheapest Palindrome	★★☆☆☆
A Mini Locomotive	★★☆☆☆
Millenium Leapcow	★★☆☆☆
Unidirectional TSP	★★☆☆☆
Honeycomb Walk	★★☆☆☆	利用记忆化简化递推
Brackets Sequence	★★★☆☆	经典记忆化
Chessboard Cutting	★★★☆☆	《算法艺术和信息学竞赛》例题
Number Cutting Game	★★★☆☆

3、最长单调子序列

题目链接	难度	解法
Constructing Roads In JG Kingdom	★★☆☆☆
Stock Exchange	★★☆☆☆
Wooden Sticks	★★☆☆☆
Bridging signals	★★☆☆☆
BUY LOW, BUY LOWER	★★☆☆☆	要求需要输出方案数
Longest Ordered Subsequence	★★☆☆☆
Crossed Matchings	★★☆☆☆
Jack’s struggle	★★★☆☆	稍微做点转化

4、最大M子段和

题目链接	难度	解法
Max Sum	★☆☆☆☆	最大子段和
Max Sum Plus Plus	★★☆☆☆	最大M子段和
To The Max	★★☆☆☆	最大子矩阵
Max Sequence	★★☆☆☆	最大2子段和
Maximum sum	★★☆☆☆	最大2子段和
最大连续子序列	★★☆☆☆	最大子段和
Largest Rectangle in a Histogram	★★☆☆☆	最大子矩阵变形
City Game	★★☆☆☆	最大子矩阵扩展
Matrix Swapping II	★★★☆☆	最大子矩阵变形后扩展

5、线性模型

题目链接	难度	解法
Skiing	★☆☆☆☆
Super Jumping! Jumping! Jumping!	★☆☆☆☆
Milking Time	★★☆☆☆	区间问题的线性模型
Computers	★★☆☆☆	【例题4】
Bridge over a rough river	★★★☆☆
Crossing River	★★★☆☆
Blocks	★★★☆☆
Parallel Expectations	★★★★☆	线性模型黑书案例

6、区间模型

题目链接	难度	解法
Palindrome	★☆☆☆☆
See Palindrome Again	★★★☆☆

7、背包问题

题目链接	难度	解法
饭卡	★☆☆☆☆	01背包
I NEED A OFFER!	★☆☆☆☆	概率转化
Bone Collector	★☆☆☆☆	01背包
最大报销额	★☆☆☆☆	01背包
Duty Free Shop	★★☆☆☆	01背包
Robberies	★★☆☆☆
Piggy-Bank	★☆☆☆☆	完全背包
Cash Machine	★☆☆☆☆	多重背包
Coins	★★☆☆☆	多重背包，楼天城“男人八题”之一
I love sneakers!	★★★☆☆	背包变形

8、状态压缩模型

题目链接	难度	解法
ChessboardProblem	★☆☆☆☆	比较基础的状态压缩
Number of Locks	★☆☆☆☆	简单状态压缩问题
Islands and Bridges	★★☆☆☆
Tiling a Grid With Dominoes	★★☆☆☆	骨牌铺方格 4XN的情况
Mondriaan’s Dream	★★☆☆☆
Renovation Problem	★★☆☆☆	简单摆放问题
The Number of set	★★☆☆☆
Tetris Comes Back	★★☆☆☆	纸老虎题
Hardwood floor	★★★☆☆
Bugs Integrated, Inc.	★★★☆☆	三进制状态压缩鼻祖
Another Chocolate Maniac	★★★☆☆	三进制
Emplacement	★★★☆☆	类似Bugs那题，三进制
Toy bricks	★★★☆☆	四进制， 左移运算高于&
Quad Tiling	★★★☆☆	骨牌铺方格 4XN的情况 利用矩阵优化
Eat the Trees	★★★☆☆	插头DP入门题
Formula 1	★★★☆☆	插头DP入门题
The Hive II	★★★☆☆	插头DP
Plan	★★★☆☆	插头DP
Manhattan Wiring	★★★☆☆	插头DP
Pandora adventure	★★★★☆	插头DP
Tony’s Tour	★★★★☆	插头DP，楼天城“男人八题”之一
Pipes	★★★★☆	插头DP
circuits	★★★★☆	插头DP
Beautiful Meadow	★★★★☆	插头DP
I-country	★★★★☆	高维状态表示
Permutaion	★★★★☆	牛逼的状态表示
01-K Code	★★★★☆
Tour in the Castle	★★★★★	插头DP（难）
The Floor Bricks	★★★★★	四进制（需要优化）

9、树状模型

题目链接	难度	解法
Anniversary party	★☆☆☆☆	树形DP入门
Strategic game	★☆☆☆☆	树形DP入门
Computer	★★☆☆☆
Long Live the Queen	★★☆☆☆
最优连通子集	★★☆☆☆
Computer Network	★★☆☆☆
Rebuilding Roads	★★★☆☆	树形DP+背包
New Year Bonus Grant	★★★☆☆
How Many Paths Are There	★★★☆☆
Intermediate Rounds for Multicast	★★★★☆
Fire	★★★★☆
Walking Race	★★★★☆
Tree	★★★★★	树形DP，楼天城“男人八题”之一

10、滚动数组优化常见问题

题目链接	难度	解法
Palindrome	★☆☆☆☆
Telephone Wire	★☆☆☆☆
Gangsters	★☆☆☆☆
Dominoes	★☆☆☆☆
Cow Exhibition	★☆☆☆☆
Supermarket	★★☆☆☆

11、决策单调性

题目链接	难度	解法
Print Article	★★★☆☆
Lawrence	★★★☆☆
Batch Scheduling	★★★☆☆
K-Anonymous Sequence	★★★☆☆
Cut the Sequence	★★★☆☆
Easy Climb	★★★☆☆
MAX Average Problem	★★★☆☆

12、常用优化

题目链接	难度	解法
Divisibility	★★☆☆☆	利用同余性质
Magic Multiplying Machine	★★☆☆☆	利用同余性质
Moving Computer	★★☆☆☆	散列HASH表示状态
Post Office	★★★☆☆	四边形不等式
Minimizing maximizer	★★★☆☆	线段树优化
Man Down	★★★☆☆	线段树优化
So you want to be a 2n-aire?	★★★☆☆	期望问题
Expected Allowance	★★★☆☆	期望问题
Pollution	★★★☆☆	期望问题
Greatest Common Increase Subseq	★★★☆☆	二维线段树优化
Traversal	★★★☆☆	树状数组优化
Find the nondecreasing subsequences	★★★☆☆	树状数组优化
Not Too Convex Hull	★★★★☆	利用凸包进行状态转移
In Action	★★★☆☆	最短路+背包
Search of Concatenated Strings	★★★☆☆	STL bitset 应用
Chopsticks	★★★☆☆	经典筷子问题

13、其他类型的动态规划

题目链接	难度	解法
Common Subsequence	2D/0D
Advanced Fruits	2D/0D
Travel	2D/1D
RIPOFF	2D/1D
Balls	2D/1D
Projects	2D/1D
Cow Roller Coaster	2D/1D
LITTLE SHOP OF FLOWERS	2D/1D
Pearls	2D/1D
Spiderman	2D/0D
The Triangle	2D/0D
Triangles	2D/0D
Magazine Delivery	3D/0D
Tourist	3D/0D
Rectangle	2D/1D
Message	2D/1D
Bigger is Better	2D/1D
Girl Friend II	2D/1D
Phalanx	2D/1D
Spiderman	最坏复杂度O(NK)，K最大为1000000，呵呵
Find a path	3D/1D 公式简化，N维不能解决的问题试着用N+1维来求解