在已经明确展开不可取，并确定有更高效的方法后，应该开始考虑一些技巧方面的处理。除了恒等变形、直接放缩（这些都已在之前提到过），最经典的方法莫过于换元了。有了换元法，往往能把“不整齐”、“不好看”的式子转化为一个轮换式或是一个对称式，从而使之后的解题过程事半功倍。
例如下面这个十分不好看的式子，就可以用最基础的换元法来解决:
设 a , b , c 是正实数，求证： 8 a 2 + 2 a b ( b + 6 a c + 3 c ) 2 + 2 b 2 + 3 b c ( 3 c + 2 a b + 2 a ) 2 + 18 c 2 + 6 a c ( 2 a + 3 b c + b ) 2 ≥ 1. \text{设}a, b, c\text{是正实数，求证：}\frac{8a^2+2ab}{\left( b+\sqrt{6ac}+3c \right) ^2}+\frac{2b^2+3bc}{\left( 3c+\sqrt{2ab}+2a \right) ^2}+\frac{18c^2+6ac}{\left( 2a+\sqrt{3bc}+b \right) ^2}\ge 1. 设a,b,c是正实数，求证：(b+6ac+3c)28a2+2ab+(3c+2ab+2a)22b2+3bc+(2a+3bc+b)218c2+6ac≥1.
通常从那个最奇怪的单项式入手：第三项 18 c 2 + 6 a c ( 2 a + 3 b c + b ) 2 \frac{18c^2+6ac}{\left( 2a+\sqrt{3bc}+b \right) ^2} (2a+3bc+b)218c2+6ac分子中‘18’可以跟后面的平方一起写成 2 ⋅ ( 3 c ) 2 + 2 a ⋅ 3 c 2\cdot (3c)^2+2a\cdot 3c 2⋅(3c)2+2a⋅3c，于是便可以设 x = 2 a , y = b , z = 3 c . x=2a,y=b,z=3c. x=2a,y=b,z=3c.
这样一来，原不等式 ⇔ ∑ 2 x 2 + x y ( y + x z + z ) 2 ≥ 1 为了使 ∑ 2 x 2 + x y ( y + x z + z ) 2 ≥ 1 ，就要想方设法让分母小于某个数，自然会想到柯西不等式， 又结合分母拆成 x 2 + x y + x 2 ，可得： ( x y + x 2 + x 2 ) ⋅ ( y x + z x + z 2 x 2 ) ≥ ( y + x z + z ) 2 ⇒ ∑ 2 x 2 + x y ( y + x z + z ) 2 ≥ ∑ 2 x 2 + x y ( x y + x 2 + x 2 ) ⋅ ( y x + z x + z 2 x 2 ) = ∑ 1 ( y x + z x + z 2 x 2 ) = ∑ x 2 x y + x z + z 2 又 ∑ x 2 x y + x z + z 2 ⋅ ∑ ( x y + x z + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 ∴ ∑ 2 x 2 + x y ( y + x z + z ) 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x = 1. ■ \text{这样一来，原不等式}\Leftrightarrow \sum{\frac{2x^2+xy}{\left( y+\sqrt{xz}+z \right) ^2}\ge 1}\\\text{为了使}\sum{\frac{2x^2+xy}{\left( y+\sqrt{xz}+z \right) ^2}\ge 1}\text{，就要想方设法让分母小于某个数，自然会想到柯西不等式，}\\\text{又结合分母拆成}x^2+xy+x^2\text{，可得：}\\\left( xy+x^2+x^2 \right) \cdot \left( \frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z^2}{x^2} \right) \ge \left( y+\sqrt{xz}+z \right) ^2\\\Rightarrow \sum{\frac{2x^2+xy}{\left( y+\sqrt{xz}+z \right) ^2}}\ge \sum{\frac{2x^2+xy}{\left( xy+x^2+x^2 \right) \cdot \left( \frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z^2}{x^2} \right)}}=\sum{\frac{1}{\left( \frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z^2}{x^2} \right)}}=\sum{\frac{x^2}{xy+xz+z^2}}\\\text{又}\sum{\frac{x^2}{xy+xz+z^2}}\cdot \sum{\left( xy+xz+z^2 \right)}\ge \left( x+y+z \right) ^2\\\therefore \sum{\frac{2x^2+xy}{\left( y+\sqrt{xz}+z \right) ^2}}\ge \frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1. \blacksquare 这样一来，原不等式⇔∑(y+xz+z)22x2+xy≥1为了使∑(y+xz+z)22x2+xy≥1，就要想方设法让分母小于某个数，自然会想到柯西不等式，又结合分母拆成x2+xy+x2，可得：(xy+x2+x2)⋅(xy+xz+x2z2)≥(y+xz+z)2⇒∑(y+xz+z)22x2+xy≥∑(xy+x2+x2)⋅(xy+xz+x2z2)2x2+xy=∑(xy+xz+x2z2)1=∑xy+xz+z2x2又∑xy+xz+z2x2⋅∑(xy+xz+z2)≥(x+y+z)2∴∑(y+xz+z)22x2+xy≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zxx2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=1.■
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