P1654 OSU!（期望dp）

题意：

解法：

$$\begin{gathered} (X+1{)}^3-X^3 \\ =(X+1{)}^2(X+1)-X^3 \\ =(X^2+2X+1)(X+1)-X^3 \\ =X^3+X^2+2X^2+2X+X+1-X^3 \\ =3X^2+3X+1 \\ 即在X个1之后再增加一个1,总分数会增加3X^2+3X+1 \\ 令cnt[i]表示i次操作后X的期望值 \\ 那么cnt[i]=(cnt[i-1]+1)\ast p[i]+0\ast (1-p[i])=(cnt[i-1]+1)\ast p[i] \\ 令cnt2[i]表示i次操作后X^2的期望值 \\ 那么cnt2[i]=(cnt2[i-1]+2\ast cnt[i-1]+1)\ast p[i] \\ 令d[i]表示i次操作后的期望分数 \\ 那么d[i]=d[i-1]+(3\ast cnt2[i-1{]}^2+3\ast cnt[i-1]+1)\ast p[i]. \\ 注意:X的期望值和X^2的期望需要分开算. \end{gathered}$$

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxm=1e6+5;
double cnt[maxm];
double cnt2[maxm];
double d[maxm];
double p[maxm];
int n;
signed main(){
    
    
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        cin>>p[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        cnt[i]=(cnt[i-1]+1)*p[i];
        cnt2[i]=(cnt2[i-1]+2*cnt[i-1]+1)*p[i];
        d[i]=d[i-1]+(3*cnt2[i-1]+3*cnt[i-1]+1)*p[i];
    }
    printf("%.1f\n",d[n]);
    return 0;
}

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