算法分析与设计实践-作业1-2-Kruakal构造最小生成树

Kruskal算法构造最小生成树

1.问题

给定一张边带权的无向图G = (V,E) , n =|V| , m = |E| 。由V中全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树。边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

2.解析

3.设计

void kruskal(){
    
    
    sort(edge,edge+m,cmp);//将边的权值排序
    for(i from 0 to m-1){
    
    
    	eu=find(edge[i].u);
        ev=find(edge[i].v);
        if(eu==ev){
    
     //若出现两个点已经联通了，则说明这一条边不需要了
            continue;
        }
        ans+=edge[i].w;//将此边权计入答案
        fa[ev]=eu;//将eu、ev合并
        if(++cnt==n-1){
    
     //循环结束条件，即边数为点数减一时
            break;
        }
    }
}

4.分析

时间复杂度分析：设n个顶点，m条边。

1. 对集合中的每一个顶点，都将它的集合初始化为自身：O（n）
2. 将边按权值进行排序：O（mlogm）
3. 对排序好后的边从小到大进行判断，如果这条边所连的2个顶点不在同一个集合中，则将这条边加入到生成树的边集A中，并将此边所连的两个顶点u和v的集合放进同一集合中，如此循环加到生成树中的边集数量为n-1时停止。

虽然不确定第三步骤的时间复杂度，但可以肯定的是第三步骤的时间复杂度一定小于O（mlogm），所以综上所诉，Kruskal算法的时间复杂度为O（mlogm）。

5.源码

https://github.com/lu-225/As-before/blob/master/2018212212124%20%E9%99%86%E5%AE%B6%E8%BE%89%20%E5%AE%9E%E9%AA%8C1-2/Kruskal.cpp