算法中前缀和的运用

前缀和定义：    对当前位置的前面所有位置的和或者差之类的 计算，这样相当于空间换取时间，相当于，对后续位置的计算只需要在上次计算的基础上加上很少的计算即可。

这么看似乎思路上很像动态规划，但是动态规划在前后状态的关系上比前缀和更加紧密或者说可能比前缀和更加复杂，前缀和可以算是动态规划中应用窄的一部分。

举例子：一维的前缀和：

对数组 a[n]    一共n个数，

输入：整数x范围：（1到n）

输出：前x个数的和

思路：利用一个数组b[n],记录每次前x个数的和，这样查询的时候只需要O（1）的时间复杂度了

二维的前缀和：

对数组a[n][m]一共n*m个数

输入：整数x，y （1<x<n,1<y<m）

输出（x，y）位置及之前的数的和

思路：也是利用数组b[n][m]去记录每个（x,y）位置及其之前数字的和，这样查询的时候也只需要O（1）的时间复杂度了

都是巧妙地牺牲空间换取了时间的巨大优势。

这样做还有一个巨大的好处就是：做区间的和的计算是时间复杂度也是O（1），

例如：一维的例子中计算x位置到y位置这个区间的和。

因为只需要把区间的上限的结果减去下限的结果。