【机器学习笔记】《统计学习方法》第三章 k近邻算法+kd树

主要参考书目《统计学习方法》第2版，清华大学出版社
参考书目 Machine Learning in Action, Peter Harrington
用于考研复试笔记，所以写的很简洁，自己能看懂就行。有学习需求请绕道，参考吴恩达机器学习或以上书籍，讲得比大多数博客好。

概念

输入：训练数据集
T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y x ) , . . . , ( x N , y N ) } T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_x),...,(x_N,y_N)\} T={ (x1​,y1​),(x2​,yx​),...,(xN​,yN​)}
其中，$x_i\in \chi \subset R_n$为实例的特征向量， y i ⊂ Y = { c 1 , c 2 , . . . , c k } y_i\subset Y=\{c_1,c_2,...,c_k\} yi​⊂Y={ c1​,c2​,...,ck​}为实例的类别，$i=1,2,...,N;$实例特征向量$x$：
输出：实例$x$所属的类$y$
(1)根据给定的距离度量，在训练集$T$中找出与$x$最邻近的$k$个点，涵盖这$k$个点的$x$的邻域记作$N_k(x)$
(2)在$N_k(x)$中根据分类决策规则（如多数表决）决定$x$的类别$y$：
$y=\underset{c_j}{\mathrm{argmax}}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j),i=1,2,...,N;j=1,2,...,K$
$I$为指示函数，当$y_{=}{c}_j$时$I$为1，否则$I$为0.

本质是找距离最近的k个点构成集合，这个集合中最多的种类就是$x$的种类。

$k$近邻法的特殊情况是$k=1$的情形。
$k$近邻没有显式的学习过程。

距离度量

特征空间中两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反映。$k$近邻模型的特征空间一般是$n$维实数向量空间$R^n$。使用的距离是欧式距离，但也可以是其他距离，如更一般的$L_p$距离或Minkowski距离。
设特征空间$\chi$是$n$维实数向量空间$R^n$，$x_i,x_j\in \chi ，x_i=(x_i^{(1)}，x_i^{(2)}，...，x_i^{(n)}{)}^T，x_j=(x_j^{(1)}，x_j^{(2)}，...，x_j^{(n)}{)}^T$，$x_i,x_j$的$L_p$距离定义为
$L_p(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$
特别地，当$p=\infty$时，它是各个坐标距离地最大值，即
$L_{\infty }(x_i,x_j)=\underset{l}{\max }|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$

原理

k值的选择

k值较小容易发生过拟合

kd树

为了提高$k$近邻搜索的效率，可以考虑使用特殊的结构存储训练数据，以减少计算距离的次数。具体方法有很多，下面介绍其中一种的$kd$树(kd tree)方法。

k-d tree是每个节点均为k维数值点的二叉树，其上的每个节点代表一个超平面，该超平面垂直于当前划分维度的坐标轴，并在该维度上将空间划分为两部分，一部分在其左子树，另一部分在其右子树。即若当前节点的划分维度为d，其左子树上所有点在d维的坐标值均小于当前值，右子树上所有点在d维的坐标值均大于等于当前值。

kd树的构造
对深度为$j$的结点，选择$x^{(l)}$为切分的坐标轴，$l=j(modk)+1$,然后划分为左子树和右子树递归构造

kd树的查找

时间复杂度$O(log(N))$

疑问
上图中第一次查找时，(8,1)确实更远，但是如果改成(7,4)还需要搜索右边的点吗。
答：不可能出现这种情况。上面描述有误吗，不能拿(8,1)参考，而是应该拿(9,6)参考，因为按照划分的顺序，(9,6)是父节点。也不可能出现疑问中的情况。

代码

不想写了。。累了。
贴一个掉包，kd-tree的代码有空再补。。主要是py不熟。

import numpy as np
from sklearn.neighbors import KDTree

np.random.seed(0)
points = np.random.random([15,2])
tree = KDTree(points)
point = points[0]
print(points)
print(point)
print("========================")
dists, indices = tree.query([point], k = 3)
p