线性代数（1）—— 行列式

一、行列式发展史

1. 行列式

• 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用。现在行列式已经脱离线性方程组本身，成为数学中一种非常有用的工具。
• 1690年代，莱布尼茨和日本数学家关孝和于发明行列式
• 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则
• 稍后，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解
• 之后，法国数学家范德蒙德对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了行列式展开的方法。
• 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。
• 继柯西之后，德国数学家雅可比引进了函数行列式，即 “雅可比行列式” ，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。
• 19世纪，詹姆士·西尔维斯特提出配析法，并给出形成的行列式为零时两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。
• 由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。

2. 从行列式到矩阵

• “矩阵” 这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
• 1858 年，英国数学家凯莱发表了《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论，首次把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章

二、从线性方程组讲起

• 行列式诞生自线性方程组。很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用。我们首先也从线性方程组切入

1. 线性方程组和系数行列式

1. 一个五元线性方程组的示例如下
   $$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+a_{14}{x}_4+a_{15}{x}_5=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+a_{24}{x}_4+a_{15}{x}_5=b_2\\ ...\\ a_{51}{x}_1+a_{52}{x}_2+a_{53}{x}_3+a_{54}{x}_4+a_{55}{x}_5=b_5\end{array}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$

2. 提出系数部分，可得此线性方程组的系数行列式$D$和系数矩阵$A$，有$D=det(A)$
   $$D=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}& a_{45}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{55}\end{array}\right|$$
   $$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}& a_{45}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{55}\end{array}\right]$$

3. 提出结果部分，可得此线性方程组的结果向量$B$
   $$B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\\ b_5\end{array}\right]$$

4. 线性方程组的表示简化为$Ax=b$

2. 克莱姆法则

• 求解多元线性方程组是件麻烦事，1750年克莱姆提出的克莱姆法则为此提供了一个通解。
• 求解线性方程组、判断线性方程组解的情况，这是行列式最初的应用场景

（1）用克莱姆法则解元线性方程组

• 克莱姆法则：一个含有N个未知量和N个方程的线性方程组，当系数行列式满足 $D\ne 0$ 时，有且仅有一个解
  $$x_1=\frac{D_1}{D}，x_2=\frac{D_2}{D}，...，x_n=\frac{D_n}{D}\text{\hspace{1em}(1-2)}$$

  其中$D_i$ 是将 $D$ 的第 j 列换成常数项 $b_1,b_2,...,b_n$ 而其余列不变的行列式，即

  $$D_j=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

  $$=b_1{A}_{1j}+b_2{A}_{2j}+...+b_n{A}_{nj}(j=1,2,...,n)$$

  这里后面那个式子是按 $b$ 那一列展开的结果，后面再详细说明展开方法

（2）克莱姆法则的证明

1. 首先有原始线性方程组如下
   $$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}\text{\hspace{1em}(1-3)}$$

2. 通过消元变换（将一个方程的k倍加到另一方程上），变为同解方程组
   $$\{\begin{array}{c}\begin{array}{r}{b}_{11}{x}_1+b_{12}{x}_2+...+b_{1n}{x}_n=c_1\\ b_{22}{x}_2+...+b_{2n}{x}_n=c_2\\ \dots \\ b_{nn}{x}_n=c_n\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-4)}$$

3. 再从下到上消元，得到同解方程组
   $$\{\begin{array}{c}\begin{array}{r}{a}_1{x}_1=d_1\\ a_2{x}_2=d_2\\ \dots \\ a_n{x}_n=d_n\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-5)}$$

4. 由行列式性质，有
   $$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n\end{array}\right|=a_1{a}_2...a_n$$

   $$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{d}_1& & & \\ d_2& a_2& & \\ ⋮& & \ddots & \\ d_n& & & a_n\end{array}\right|=d_1{a}_2...a_n$$

   $$D_2=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& d_1& & \\ & d_2& & \\ & ⋮& \ddots & \\ & d_n& & a_n\end{array}\right|=a_1{d}_2...a_n$$

   $$D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& & & d_1\\ & \ddots & & ⋮\\ & & a_{n-1}& d_{n-1}\\ & & & d_n\end{array}\right|=a_1...a_{n-1}{d}_n$$

   于是，若原方程组线性无关，则方程组的唯一解为
   $$x_1=\frac{d_1}{a_1}=\frac{D_1}{D}，x_2=\frac{d_2}{a_2}=\frac{D_2}{D}，...，x_n=\frac{d_n}{a_n}=\frac{D_n}{D}\text{\hspace{1em}(1-6)}$$

（3）判别齐次线性方程组是否有解

• 利用克莱姆法则，我们可以方便地判断一个齐次线性方程组有非零解

1. 判别法

1. 有齐次线性方程组形式如下，注意所有式子等号右侧都是0
   $$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1-7)}$$
2. 判别定理：齐次线性方程组有非零解$\iff$ 方程组系数行列式 D = 0
3. 证明（以下 $|a_{ij}{|}_n$ 代表系数行列式D）：

2. 讨论说明

1. 线性方程组解的讨论

   1. 一般线性方程组
      1. 无解：有不相容方程（消元时出现 0 = 非零常数）
      2. 有唯一解：有效方程个数 = 未知数个数
      3. 有无穷多解：有效方程个数 < 未知数个数
   2. 齐次线性方程组
      1. 有唯一解（零解）：有效方程个数 = 未知数个数
      2. 有无穷多解：有效方程个数 < 未知数个数

2. 总之，只要有效方程个数 = 未知数个数，线性方程组必有唯一解，对于齐次线性方程组，这个唯一解就是零解。如果齐次线性方程组中出现非零解

   1. 意味着这里有效方程数量不足
   2. 字面上方程和未知数数量相同，故一定有某些方程能被其他方程线性表示（这种情况称为线性相关）
   3. 所以消元后的同解线性方程组的系数行列式D中出现了全0行
   4. 根据行列式性质，D=0

   因此我们可以用D是否为0来判断齐次线性方程组是否有非零解。通常我们不关注行列式的具体值，而只关注行列式是否为0

3. 线性相关和线性无关

   1. 说白了就是，如果一个方程组中，某个方程可以被其他方程通过倍乘和相加的方式（线性变换）表示出来，就说这些方程线性相关；反之称为线性无关
   2. 向量是若干有次序的数组成的数组。我们关注方程的系数部分，把每个方程的系数取出来组成系数行列式D，其中每一行/列都是一个行/列向量。对于D=0的情况，我们通常不说方程线性相关，而说这里的行/列向量线性相关（意思其实就也是某一个向量可以用其他的线性表示）；反之若D非零，就称行/列向量线性无关

三、行列式的几何意义

• 柯西最先给出了行列式的几何背景。
• 先从二维情况入手，一个2阶行列式$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$，把它的第一行和第二行看成两个二维向量$[a_{11},a_{12}]\stackrel{记}{=}{\alpha }_1$ 和 $[a_{21},a_{22}]\stackrel{记}{=}{\alpha }_2$，在直角坐标系中画出这两个向量如下
  
• 可见，2阶行列式$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$的值就是其两个二维向量围成的平行四边形面积。
• 从前文线性方程组的分析可以看出来，行列式的一个特点是 “可以作线性推广”，因此3阶行列式的值是三个向量$[a_{11},a_{12},a_{13}]$，$[a_{21},a_{22},a_{23}]$，$[a_{31},a_{32},a_{33}]$为邻边的平行六面体的体积
• 依次类推，可以给出n阶行列式$D_n$的本质定义：n阶行列式是由n个向量${\alpha }_1=[a_{11},a_{12},...,a_{1n}],{\alpha }_2=[a_{21},a_{22},...,a_{2n}],...,{\alpha }_n=[a_{n1},a_{n2},...,a_{nn}]$ 组成的，其（运算规则的）结果为这个n个向量为邻边的n维图形的体积，从这个角度看线性相关和线性无关概念如下
  1. 线性相关：$D=0$，代表向量间没有夹角，有同方向向量存在，无法围成封闭的n维图形体积，体积自然为0
  2. 线性无关：$D\ne 0$，代表向量间有夹角，可以围成封闭的n维图形体积，体积不为0

四、行列式的性质

1. 性质1：行列互换，其值不变，即$|A|=|A^T|$，行列地位相等。

   • 可以从几何角度验证

2. 性质2：行列式中某行（列）元素全0，则行列式为0

   • 从几何角度看，某个向量边长为0，无法围成封闭的集合体
   • 从线性方程组看，某个方程组系数全为0，有效方程数量少于未知数个数，线性相关，存在非零解

3. 性质3：行列式中某行（列）元素有公因子k(k≠0)，则k可以提到行列式外部（行列式的值变成k倍）

   • 从几何角度看，k倍体积，只需要把某个边长度延长k倍
   • 从线性方程组看，倍乘是初等变换，不影响解情况

4. 性质4：行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可以拆成两个行列式之和

   • 从几何角度看，这是把一个四边形/立方体垂直某边/棱切成两个
     

5. 性质5：行列式中两行（列）互换，行列式的值反号

   • 可以从几何角度验证
   • 从线性方程组看，互换是初等变换，不影响解情况
   • 可以用性质7和性质3推出

6. 性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式值为0

   • 从几何角度看，有两个平行边，无法围成封闭立方体
   • 这条和性质2差不多

7. 性质7：行列式中某行（列）的k倍加到令一行（列），行列式的值不变

   • 从几何角度看，这是把某条边延其向量指向平移了一段，体积不变
   • 从线性方程组看，倍加是初等变换，不影响解情况
   • 可以用性质4拆开，变成原行列式加一个性质6中的行列式（值为0）

五、行列式的三种公理化构造

• 通过上述分析，我们已经对行列式有了比较直观的理解。
  1. 行列式最初用于表示线性方程组的系数，其值可以用于判别齐次线性方程组的解情况，也可以用于计算一般线性方程组的通解
  2. 可以从几何角度直观地表示行列式
  3. 从几何和代数两个角度，都可以得出行列式的若干性质
• 下面我们首先补充一些离散数学中的概念，然后给出行列式的三种正统定义方式

0. 符号规定和补充内容

（1）群相关内容

1. 补充定义

1. 群：$<G,o>$是含有一个二元运算的代数系统，若满足以下条件，则称G是一个群

   1. o运算满足结合律
   2. 存在 $e\in G$ 是关于 $o$ 运算的单位元
   3. 任何 $x\in G$，$x$关于 $o$ 运算的逆元 $x^{-1}\in G$

2. 变换和一一变换：设A是非空集合，$f:A\to A$ 称为A上的一个变换。若 $f$ 是双射的，则称 $f$ 为A上的一个一一变换

3. 变换的乘法：设$f,g$是$A$上的两个变换，则$f,g$的函数合成（即先按$f$变换，再按$g$变换）称为$f$与$g$的乘积，记为$fg$

4. 一一变换群：设 $E(A)$ 是$A$上全体一一变换构成的集合，则 $E(A)$ 关于变换的乘法构成一个群，称为$A$的一一变换群

5. n元置换(σ)：当$A$是有穷集合时，$A$上的一一变换称为$A$上的置换。当$|A|=n$时称$A$上的变换为n元置换。为了叙述方便，常将$A$记作 { 1 , 2 , . . . , n } \{1,2,...,n\} { 1,2,...,n}，于是可以将$A$上的n元置换$\sigma$记作
   $$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \dots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& & \sigma (n)\end{array}\right)$$
   易见，$sigma(1),sigma(2),...,sigma(n)$恰为$1,2,...,n$的一个全排列，在A上的所有置换和A的所有全排列之间存在着一一对应，$n$元集合有$n!$个$n$元置换。

6. n元对称群和n元置换群(Sn)：$n$元集合的所有$n!$个$n$元置换的集合记作$S_n$，它关于置换的乘法构成一个群，称为$n$元对称群。$S_n$的子群称为$n$元置换群

7. k阶轮换：设$\sigma \in S_n$，若$\sigma$将 { 1 , 2 , . . , n } \{1,2,..,n\} { 1,2,..,n}中的$k$个元素$i_1,i_2,...,i_k$进行如下变换：$\sigma (i_1)=i_2,\sigma (i_2)=i_3,...,\sigma (i_{k-1})=i_k,\sigma (i_k)=i_1$，而其他元素保持不变，可将$\sigma$记作$(i_1,i_2,...i_n)$，称为一个k阶轮换

   1. 恒等置换：一阶轮换称为恒等置换，相当于不变

   2. 对换：二阶轮换称为对换，相当于交换两个数
      S 3 = { σ 1 , σ 2 , . . . , σ 6 } S_3 = \{\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_6\} S3​={ σ1​,σ2​,...,σ6​}

      $${\sigma }_1=(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)，{\sigma }_2=(23)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$$

      $${\sigma }_3=(12)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)，{\sigma }_4=(123)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

      $${\sigma }_5=(132)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)，{\sigma }_6=(13)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$$

8. 奇(偶)置换：可以表示为偶数个对换的乘积的置换叫做偶置换。 可以表示为奇数个对换的乘积的置换叫做奇置换。

9. 逆序数：设 $\pi =i_1,i_2,...,i_n$ 是 $1,2,...,n$的一个排列，若$i_k>i_l且k<l$，称$i_k{i}_l$是一个逆序。排列中逆序的总数称为逆序数

2. 补充定理

1. 任何一个n元置换，可以表示为若干对换之积，这些对换是可以相交的，且表法不唯一。但是不同表法中对换个数的奇偶性是不变的
2. $\sigma \in S_n$，且$\sigma (j)=i_j,j=1,2,...,n$，则在$\sigma$的对换表示中，对换的个数和排列$\pi =i_1,i_2,...,i_n$的逆序数的奇偶性一致
   $${\sigma }_{=}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \dots & n\\ i_1& i_2& \dots & i_n\end{array}\right)$$

（2）符号说明

• 以下是构造中会用到的符号

  符号	解释
  $\mathbb{R}$	实数集R
  $M_n(\mathbb{R})$	是指实数域上的n阶方阵
  $E$	单位矩阵
  $det(A)$	矩阵A对应的行列式
  $S_n$	n元置换群
  $\sigma$	n元置换
  ${\epsilon }_{\sigma }$	n元置换 $\sigma$ 的符号（奇置换取-1，偶置换取1）
  $A_i$	矩阵A的第 $i$ 行

1. 第二公理化构造

• 第二公理化构造和线性方程组比较贴近，我们从此起步

（1）从线性方程入手

• 有以下三种初等变换，经过初等变换，线性方程组的解不变
  1. 倍加：将某行的k倍加到另一行
  2. 互换：互换某两行
  3. 倍乘：给某行乘一非零数
• 引入矩阵、向量、矩阵乘法等概念后，线性方程组简化为$Ax=b$，其中$A$称为系数矩阵，我们可以完全平行地引入矩阵的初等变换
• 根据上文分析的克莱姆法则，系数矩阵所对应的系数行列式$D=det(A)$有一个优良性质：可以根据$D$是否为0判断齐次线性方程组解的情况

（2）一个猜测

• 现在假设我们不知道行列式的定义，希望找到一个映射关系$D:M_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$，它可以把系数矩阵映射为一个实数，并且可以利用这个实数是否为0判断齐次线性方程组解的情况

• 如果真的存在上述映射，显然，在系数矩阵$A$的初等变化下，$D(M_n(\mathbb{R}))$是否为0的结果不能改变。这样的具体条件不一定唯一，但有一个可行的条件如下

  1. 将某行的k倍加到另一行， $D$结果不变（倍加）
  2. 给某行乘一非零数k，$D$结果也变为k倍（倍乘）
  3. $D(E)=1$

  由前两个条件可以推出：互换两行，$D$结果反号（互换），这个推导是简单的

• 可见，符合上述条件的$D:M_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$，满足了在 “系数矩阵$A$的初等变化下，是否为0的结果不变” 这一要求。至于第三条，规定$D(E)$为任何非零数都不影响，规定为1是简单的。

• 上面这三条条件，正是行列式的第二公理化构造，以此为定义，可以唯一确定行列式的展开表达式，即各大教材上的行列式逆序数定义式。

（3）行列式的第二公理化构造

• 行列式是满足以下三条性质的函数$D:M_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$
  1. $D(...,\lambda A_i,...)=\lambda D(...,A_i,...)$，其中$\lambda \in \mathbb{R}$
  2. $D(...,A_i+A_j,...,A_j,...)=D(...,A_i,...,A_j,...)$
  3. $D(E)=1$

2. 第一公理化构造

（1）行列式的第一公理化构造

• 行列式是满足以下三条性质的函数$D:M_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$
  1. 斜对称性：互换两行，行列式反号
  2. 多重线性：$D(...,A_i+A_i^{\prime },...)=D(...,A_i,...)+D(...,A_i^{\prime },...)$
  3. 正规化条件：$D(E)=1$

（2）从第二公理化构造到第一公理化构造

• 第一公理化构造可以由第二公理化构造推出，具体过程如下

  1. 性质0（倍加）：$D(...,A_i+\lambda A_j,...,A_j,...)=D(...,A_i,...,A_j,...)$，证明如下
     $$\begin{array}{rl}\lambda D(...,A_i,...,A_j,...)& =D(...,A_i,...,\lambda A_j,...)\\ & =D(...,A_i+\lambda A_j,...,\lambda A_j,...)\\ & =\lambda D(...,A_i+\lambda A_j,...,A_j,...)\end{array}$$

     两边消去$\lambda$即可

  2. 性质1（线性相关时，结果为0）：$D(...,\sum _{l=1}^n{a}_l{A}_l,...)=D(...,0,...)=0$。重复使用性质0即可证明

  3. 证明斜对称性
     

  4. 证明多重线性：推导过程转载自：行列式的逆序数定义是怎么想出来的
     
     

（3）行列式的解析展开式与逆序数定义

• 利用第一公理化构造，可以推出行列式的解析展开式
• 推导过程转载自：行列式的逆序数定义是怎么想出来的
  
  
  
• 在各大教材上常见到一种行列式的逆序数定义，如下
  
  其中$N(j_1,j_2...j_n)$代表求排列$j_1,j_2...j_n$的逆序数，其实引入这个逆序数定义，就是为了确认置换的奇偶性，从而给出行列式公式里每项前面那个正负号${\epsilon }_{\sigma }$

3. 第三公理化构造

• 对于阶数超过3的行列式，无法用交叉技巧求解，用逆序数法展开又太麻烦，这时就适用于从第三公理化构造的角度考虑。

（1）余子式

1. 余子式：在n阶行列式中，划去元$a_{ij}$所在的第i行与第j列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$，即
   
2. 代数余子式：余子式乘上$(-1{)}^{i+j}$后称为$a_{ij}$的代数余子式，记作$A_{ij}$，即
   $$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$
   显然也有
   $$M_{ij}=(-1{)}^{i+j}{A}_{ij}$$

（2）行列式按某行（列）展开公式

• 行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘以其相应的代数余子式后再求和，即
  $$|A|=\{\begin{array}{c}按行展开：a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(i=1,2,...,n)\\ 按列展开：a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(j=1,2,...,n)\end{array}$$
  这样可以把一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式，实现降阶，直到最后可以用交叉技巧求解

• 行列式的某行（列）元素分别乘以另一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为0
  $$\begin{gathered} a_{i1}{A}_{k1}+a_{i2}{A}_{k2}+...+a_{in}{A}_{kn}=0,i\ne k \\ {a}_{1j}{A}_{1k}+a_{2j}{A}_{2k}+...+a_{nj}{A}_{nk}=0,j\ne k \end{gathered}$$

六、几个重要的行列式

• 记住以下重要行列式，可以方便我们快速计算行列式的值

1. 三角行列式

2. 拉普拉斯展开

• 设$A$为m阶矩阵，$B$为n阶矩阵，$O$代表全0阵，则
  $$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|=|A||B|$$
  $$\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$$

3. 范德蒙德行列式