〇、图的基本概念

定义：图由顶点（vertex）和边（edge）组成。每条边的两段都必须是两个顶点（可以是同一个点）。记顶点集合为V，边集合为E，可以用G(V,E)记录一个图
1. 有向图：所有边都有方向，只能沿着边的方向在图中移动
2. 无向图：所有边都没有方向（或者说是双向的），可以把无向图的每条边看作由正向和负向的两条有向边组成
图的数据结构表示
1. 邻接表：好写，但是空间复杂度高，适用于定点数小于1000的题目
2. 邻接矩阵：写起来比较麻烦，但是空间复杂度低，一般用vector数组实现
图的相关概念
1. 顶点的度：度指和此顶点连接的边的条数，对于有向图来说，顶点出边的条数称为此顶点的出度；顶点入边的条数称为此顶点的入度
2. 权值：顶点和边都可以有一定的属性，量化的属性称为权值。边和点分别有边权和点权，具体根据题目背景设定
3. 连通分量：无向图中，如果两个顶点间相互可达（可以是通过一定的路径到达），就称这两个顶点连通。若图G(V,E)的任意两个顶点都连通，则称G为连通图；否则称G为非连通图，且其中的极大连通子图为连通分量
4. 强连通分量：有向图中，如果两个顶点间相互可达（各自通过一条有向路径），就称这两个顶点强连通。若图G(V,E)的任意两个顶点都强连通，则称G为强连通图；否则称G为非强连通图，且其中的极大强连通子图为强连通分量
5. 连通块：为了表示简便，以下把所有连通分量和强连通分量统称为连通块
关于图的遍历：
1. 遍历图，等价于遍历图中的所有连通块
2. 从图中的任意结点开始BFS或DFS遍历，可以访问到其所能到达的所有点
3. 对于连通图和强连通图，因为整个图就是一个连通块，所以BFS或DFS一遍即可完成遍历
4. 对于非连通图和非强连通图，通常的做法是设置一访问标记数组，遍历图的点集，从没有做过访问标记的点开始BFS或DFS搜索即可，搜索过程中不断给访问过的点打上标记。

一、DFS遍历图

关于DFS算法：【算法笔记】8.1 深度优先搜索DFS
DFS遍历图：以 “深度” 作为第一关键词，每次都是沿着路径走到不能前进时才回退到最近的岔路口。
示例：下图是一个非强连通图，V0入度为0，如果从其他点开始DFS，至少需要DFS两遍（如从V2开始），而从V0开始则能访问到全部顶点。从V0开始DFS，遍历顺序为：v0->v1->v3->v4->v5->v2

实例代码（邻接表表示，V0开始遍历）

/*
	DFS遍历有向图
*/
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1000;		//最大顶点数
bool vis[MAXN] = {
      
      false}; 	//访问标记数组

typedef struct NODE{
      
      
	int v;	//连接到的端点 
	int w;	//边权，这里其实没用
	
	NODE(int _v,int _w):v(_v),w(_w){
      
      }
}NODE;
vector<NODE> Adj[MAXN];		//邻接表

void DFS(int u,int depth)
{
      
      
	vis[u] = true;
	cout<<"visit："<<u<<"	depth："<<depth<<endl;
	
	for(int i=0;i<Adj[u].size();i++)
	{
      
      
		int v = Adj[u][i].v;
		if(!vis[v])
			DFS(v,depth+1);
	}
}

int main()
{
      
      
	int N,M;		//顶点数、边数
	cin>>N>>M;
	
	int start,end;	//有向边的起点和终点
	for(int i=0;i<M;i++)
	{
      
      
		cin>>start>>end;
		Adj[start].push_back(NODE(end,0));
	}	


	DFS(0,0);	//DFS遍历0号点所在的连通块，初始深度为0 
	
/*	
	//DFS遍历所有连通块 
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i])
			DFS(i,0);
	}
*/	
	
	return 0;	
} 

/*
5 9
0 1
0 2
1 3
1 4
2 1
2 4
4 3
4 5
5 3
*/

输出如下，可见是以先走到最深，遇到阻碍再回头的方式遍历的

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visit：0        depth：0
visit：1        depth：1
visit：3        depth：2
visit：4        depth：2
visit：5        depth：3
visit：2        depth：1

二、BFS遍历图

关于BFS算法：【算法笔记】8.2 广度优先搜索BFS
BFS遍历图：以 “广度” 作为第一关键词，每次以扩展的方式向外访问顶点。和BFS一般写法一样，这里要用一个队列，通过反复去除队首顶点，使此顶点可达的未加入过队列的顶点全部入队，直到队列为空时遍历结束
示例：下图是一个非强连通图，V0入度为0，如果从其他点开始BFS，至少需要BFS两遍（如从V2开始），而从V0开始则能访问到全部顶点。从V0开始BFS，遍历顺序为：v0->v1->v2->v3->v4->v5

示例代码（邻接表表示，V0开始遍历）

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

const int MAXN = 1000;
bool inqueue[MAXN] = {
      
      false};	//标记节点是否已经入过队 

typedef struct NODE
{
      
      
	int v;		//连接到的端点 
	int w;		//权值，这里其实没用 
	int layer;	//顶点层次
	
	NODE(int _v,int _w,int _layer):v(_v),w(_w),layer(_layer){
      
      }
	 
}NODE;

vector<NODE> Adj[MAXN];
 
//以s为起点，遍历s所在的连通块 
void BFS(int s)
{
      
      
	queue<NODE> q;
	NODE start = NODE(s,0,0);
	q.push(start);
	inqueue[s] = true;
	while(!q.empty())
	{
      
      
		NODE top = q.front();
		q.pop();
		cout<<"visit："<<top.v<<"	depth："<<top.layer<<endl;
		int u = top.v;
		for(int i=0;i<Adj[u].size();i++)
		{
      
      
			NODE next = Adj[u][i];
			next.layer = top.layer+1;
			if(!inqueue[next.v])
			{
      
      
				q.push(next);
				inqueue[next.v] = true;	
			}
		}	
	} 
} 

int main()
{
      
      
	int N,M;	//顶点数、边数
	cin>>N>>M;
	
	int start,end;
	for(int i=0;i<M;i++)
	{
      
      
		cin>>start>>end;
		Adj[start].push_back(NODE(end,0,0));
	}	
	
	BFS(0);		//BFS遍历0号点所在的联通块 
	
	return 0;	
} 

/*
5 9
0 1
0 2
1 3
1 4
2 1
2 4
4 3
4 5
5 3
*/

输出，可见是按深度层次一路下遍历的

visit：0        depth：0
visit：1        depth：1
visit：2        depth：1
visit：3        depth：2
visit：4        depth：2
visit：5        depth：3

【算法笔记】10.3 图的遍历

文章目录

〇、图的基本概念

一、DFS遍历图

二、BFS遍历图

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