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前言
博弈模型，占优策略，纯纳什平衡，混合策略的纳什平衡，斯塔克伯格平衡，协同问题，特殊博弈，马尔科夫博弈，强化学习
一、博弈模型
一个博弈模型包括：
玩家集合
策略收益
效用函数
效用函数的目的是用来更准确的描述模型，将玩家的偏好关系（大于小于等于）用具体是实数体现，方便之后的运算。（感兴趣的同学了解一下圣彼得堡悖论）效用函数如何更准确的描述模型呢？例如，同样是100万，在穷人眼里很重要，即期望效用很高；但是在亿万富翁眼中，可能就没那么重要。这时候，就需要用一个凹函数来描述效用函数。
下图是效用函数与偏好关系的联系：
囚徒问题
玩家集合{P1，P2}
策略集合{C（合作：cooperation），B（背叛：btray）}
收益函数：{0y，1y，2y，3y}（被判处0年，1年，3年，6年）
基于囚徒问题的基本假设：
1.囚徒们同时决策
2.囚徒们已知策略集合和收益函数
3.囚徒们都是，理性的
注意：这里对理性的解释：理性是指玩家要符合完备性和传递性
completeness：任何两个选择摆在玩家面前，玩家总能作出一个选择。
transitivety：如果玩家喜欢a比喜欢b多，喜欢b比喜欢c多；那么玩家一点喜欢a比喜欢c多。
二，基于囚徒问题的博弈策略1
占优策略（Dominate Strategy）
（分为强占优策略和弱占优策略）
解释：不管对方的决策是什么，我的决策都是最好的。
例如囚徒们的效用矩阵如下：
不管P1选择C还是B，P2选B都是占优策略。因为当P1=C，对于P2的效用10>8；当P1=B，对于P2的效用5>0。
同理，P1选B也是占优策略。
所以，如果双方都是理性的，那么最后结果会收敛到（5,5）
而且！对于P1，因为效用10>8,5>0。所以称B是强占优策略。
同理，对于P2的效用：10>8,5>0。所以B也是P2的强占优策略。
其他情况则为弱占优策略
对于严格劣策略（强不占优策略）：代表其他所有策略总是比这个策略更优秀，它永远不会成为最优回应best reply
在任何情况下总有别的策略更好，因此，我们把严格劣策略从博弈中剔除
重复迭代的意思是：我们剔除它们，得到了一个更简单的博弈，然后再做同样的事情。现在可能又有了一些策略是严格劣势的，在这个简化的博弈中博弈者永远不会采取它们，因此我们再把它们剔除，循环反复，最后给我们了一些预测。当博弈者理性 他们也认识到其他博弈者理性时是合乎逻辑的结果 ，这些策略就会在这个子博弈中。
进行这个过程的术语称作严格劣策略重复剔除（Iterated elimination）
三， 基于囚徒问题的博弈策略2
纳什均衡（Nash Equibrium）
解释：双方都处于最佳应对策略。
如图，（5,5）是一个纳什平衡
注意：不是所以的博弈都存在纳什平衡；有的博弈存在多个纳什平衡。
而如下图所示，在这个效用矩阵中，没有纳什平衡
而在，如下图所示的效用矩阵中，则有多个纳什平衡
另外，用Iterated elimination反复消除强占优策略时，不会消除纳什平衡；但反复消除弱占优策略时，有可能删除纳什平衡。
四，混合策略的纳什平衡
混合策略可以看成一种随机选择，例如，如果你重复囚徒问题，并且每次都用相同的方法去玩，那么结果就会变得可预测。
混合策略的每一个小单位就是一个符合彩票。而二，三节中的策略单位成为简单彩票。
对于符合彩票的期望效用来说，它有三个公理：单调性，连续性，独立性。
对于任意一个博弈，必定存在一个混合策略的纳什平衡
案例和解法详见博客链接
要看，是重点！
（以下为拓展内容）
五，Stackelberg平衡
如果改变囚徒问题的假设1：囚徒们同时做出决定。
变成囚徒们作出决定时存在先后顺序。
在这种情况下的纳什平衡称为Stackelberg平衡
六，协同问题
存在多个纳什平衡的情况下，如何选择的问题称为协同问题。
协同问题的解决方法一般是人为的制定规则：比如制定通讯机制或者社会规则等等
七，特殊博弈
特殊博弈分为合作博弈和竞争博弈
合作博弈（cooperation Game）追求所以玩家收益均等
竞争博弈（competitive Game）要求玩家收益之和固定，例如经典的零和博弈
八，马尔科夫博弈
增加了状态集合和转移函数，即相对于之前的博弈，增加了环境因素，玩家的决策要考虑实时的环境因素，而且对于对手和自己的效用函数可能也是未知的。在这种情况下，优化博弈的算法称为强化学习
九，强化学习
解释：在一定环境下，做收益最大化的学习。
学习目标一般有以下几个：
1.追求纳什平衡
2.最求
总结
提示：这里对文章进行总结：
例如：以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了pandas的使用，而pandas提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。