codeforces 23E Tree 题解

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题目大意： 给出一棵树，你可以断掉一些边，最后每个连通块的节点数量的乘积就是得分，问最大得分是多少。

题解

考虑 $\text{dp}$，设 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 所在的连通块大小为 $j$ 时的最大得分。

转移很显然，对于一个儿子 $y$，考虑是否断这条父子边，如果断，那么贡献为：
f i , j = f i , j × max ⁡ k = 1 s z y { f y , k } f_{i,j}=f_{i,j}\times\max_{k=1}^{sz_y}\{f_{y,k}\} fi,j​=fi,j​×k=1maxszy​​{ fy,k​}

如果不断，就是：
f i , j = max ⁡ k = 1 s z y { f i , j − k f y , k k } f_{i,j}=\max_{k=1}^{sz_y}\{\dfrac {f_{i,j-k}f_{y,k}} k\} fi,j​=k=1maxszy​​{ kfi,j−k​fy,k​​}

最后让 $f_{i,j}$ 乘上 $j$，于是就 $n^2$ 做完了。

但是需要套一个高精度。

为了避免高精度除法，稍微修改一下 $f$ 的定义，让最后 $f_{i,j}$ 不乘上 $j$，那么转移变成：
f i , j = f i , j × max ⁡ k = 1 s z y { f y , k × k } f i , j = max ⁡ k = 1 s z y { f i , j − 1 f y , k } f_{i,j}=f_{i,j}\times\max_{k=1}^{sz_y}\{f_{y,k}\times k\}\\ f_{i,j}=\max_{k=1}^{sz_y}\{f_{i,j-1}f_{y,k}\} fi,j​=fi,j​×k=1maxszy​​{ fy,k​×k}fi,j​=k=1maxszy​​{ fi,j−1​fy,k​}

这样就做完了，代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 710
#define pb push_back

int n;
struct edge{
    
    int y,next;}e[maxn<<1];
int first[maxn],len=0;
void buildroad(int x,int y){
    
    e[++len]=(edge){
    
    y,first[x]};first[x]=len;}
struct GJD{
    
    
	int a[120],t;
	GJD(){
    
    memset(a,0,sizeof(a));t=1;}
	int &operator [](int x){
    
    return a[x];}
	void pushup(){
    
    
		for(int i=1;i<=t;i++)if(a[i]>9){
    
    
			a[i+1]+=a[i]/10;
			a[i]%=10;
			if(i==t)t++;
		}
		while(t>1&&!a[t])t--;
	}
	GJD operator *(int x){
    
    
		GJD re;re.t=t;
		for(int i=1;i<=t;i++)re[i]=a[i]*x;
		re.pushup();return re;
	}
	GJD operator *(GJD &B){
    
    
		GJD re;re.t=t+B.t-1;
		for(int i=1;i<=t;i++){
    
    
			for(int j=1;j<=B.t;j++){
    
    
				re[i+j-1]+=a[i]*B[j];
			}
		}
		re.pushup();return re;
	}
	bool operator <(const GJD &B)const{
    
    
		if(t<B.t)return true;
		if(t>B.t)return false;
		for(int i=t;i>=1;i--){
    
    
			if(a[i]<B.a[i])return true;
			if(a[i]>B.a[i])return false;
		}
		return false;
	}
	void print(){
    
    
		for(int i=t;i>=1;i--)
		printf("%d",a[i]);
	}
};
vector<GJD> f[maxn];
GJD ept;
int sz[maxn];
void dfs(int x,int fa){
    
    
	f[x].pb(ept);f[x].pb(ept);
	f[x][1][1]=sz[x]=1;
	for(int i=first[x];i;i=e[i].next){
    
    
		int y=e[i].y;if(y==fa)continue;
		dfs(y,x);sz[x]+=sz[y];
		for(int j=1;j<=sz[y];j++)f[x].pb(ept);
		GJD ma,ma2;
		for(int j=1;j<=sz[y];j++)ma=max(ma,f[y][j]*j);
		for(int j=sz[x];j>=1;j--){
    
    
			ma2=f[x][j]*ma;
			for(int k=min(j-1,sz[y]);k>=1&&j-k<=sz[x]-sz[y];k--){
    
    
				f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]*f[y][k]);
			}
			f[x][j]=max(f[x][j],ma2);
		}
	}
}

int main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++){
    
    
		scanf("%d %d",&x,&y);
		buildroad(x,y);buildroad(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	GJD ans;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[1][i]*i);
	ans.print();
}