李超线段树小结

废话

这是一个用来维护一些二维平面上线段的信息的数据结构。

思想不复杂，代码不难写，也不像某同行吉司机线段树一样较难分析复杂度，还是很容易学会的。

这种大概人人都会的东西就只有我这个蒟蒻现在才学了qwq……

正题

例题长这个样子：

你需要维护两种操作：1、增加一条线段；2、给出 $c$，询问直线 $x=c$ 经过的线段中，最上面那条线段是谁。

在有些题中，询问的不是线段是谁，而是与该线段交点的y坐标是多少，但都是一样的。

考虑用线段树来维护 $x$ 坐标，在线段树的每个节点上，维护一个最优势线段，这条线段满足：在该节点管理的区间 $[l,r]$ 内，$x=mid$ 时 $y$ 值最大。

然后考虑如何插入一条线段，假设这条线段的 $x$ 坐标在 $[a,b]$ 区间内，先将这个 $[a,b]$ 放到线段树上递归，跑到一个节点上时，假如 $[a,b]$ 完全覆盖这个节点管理的区间 $[l,r]$，那么就可以考虑更新这个节点的最优势线段。

更新需要分类讨论一下：

1. 假如这个点没有最优势线段，直接替换即可。
2. 假如新线段完全在原最优势线段上方，也直接替换。
3. 假如新线段完全在原最优势线段下方，则直接返回。
4. 最后一种情况就是两者相交，此时看一下在 $mid$ 处的取值谁更大，大的成为最优势线段，另外一个继续递归下去。

最特别的就是第四种情况，递归的方法是看交点的 $x$ 坐标，假如交点的 $x$ 坐标在 $[l,mid]$ 内，则去左子树内递归，否则去右子树。

原因的话看图会很容易理解：

当前最优势线段为蓝色线段，而红色线段是要递归下去的线段，他们的交点 $>mid$，所以就应该去右子树递归，因为已知蓝色线段在 $mid$ 处取值大于红色线段，所以在没有交点的一边，红色线段不可能取值比蓝色线段大，就没有递归的必要。

这是代码，这个函数是写在结构体内部的，所以：

struct func{
    
    
	int l,r;
	double k,b;
	double calc(int x){
    
    return k*x+b;}
};
double cross(func x,func y){
    
    return (y.b-x.b)/(x.k-y.k);}//求两直线交点的x坐标
#define zuo ch[0]
#define you ch[1]
struct node{
    
    
	int l,r,mid;func z;node *ch[2];
	//省略了建树部分
	void insert(func x){
    
    
		if(x.l<=l&&x.r>=r){
    
    //线段完全覆盖该区间
			if(z.l==-1)z=x;//没有最优势线段
			//x的两端都比z高，则x完全在z上面
			else if(x.calc(l)-z.calc(l)>eps&&x.calc(r)-z.calc(r)>eps)z=x;
			//否则看是否有交点
			else if(x.calc(l)-z.calc(l)>eps||x.calc(r)-z.calc(r)>eps){
    
    
				if(x.calc(mid)-z.calc(mid)>eps)swap(x,z);//看mid处谁取值大
				ch[cross(x,z)-mid>eps]->insert(x);//去交点所在区间继续递归
			}
		}else{
    
    
			if(x.l<=mid)zuo->insert(x);
			if(x.r>=mid+1)you->insert(x);
		}
	}
}*root=NULL;

分析一下复杂度，首先看insert函数内的大体结构：

if(x.l<=l&&x.r>=r){
    
    
	...
	//一类递归
}else{
    
    
	...
	//二类递归
}

插入一条线段时，这条线段会被二类递归分解成至多 $\log$ 段，每一段会进入一类递归递归至多 $\log$ 次，所以复杂度是 ${\log }^2$ 的，然而这个也很难跑满，所以实际上十分快。

询问的时候，在线段树上一路从 $[1,n]$ 走到 $[x,x]$，求出经过的所有节点上的最优势线段在 $x$ 处的取值即可。

//这个函数也在结构体内部
double ask(int x){
    
    
	double re=(z.l!=-1?z.calc(x):0);
	if(l==r)return re;
	return max(re,ch[x>=mid+1]->ask(x));
}

模板题传送门

这题是维护直线，所以修改一次的复杂度要更小，为 $\log$ 而不是 ${\log }^2$。

完整代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define eps 1e-8

int n;
struct func{
    
    
	int l,r;
	double k,b;
	double calc(int x){
    
    return k*x+b;}
};
double cross(func x,func y){
    
    return (y.b-x.b)/(x.k-y.k);}
#define zuo ch[0]
#define you ch[1]
struct node{
    
    
	int l,r,mid;func z;node *ch[2];
	node(int x,int y):l(x),r(y),mid(l+r>>1){
    
    
		z.l=-1;if(x<y){
    
    
			zuo=new node(l,mid);
			you=new node(mid+1,r);
		}else zuo=you=NULL;
	}
	void insert(func x){
    
    
		if(x.l<=l&&x.r>=r){
    
    
			if(z.l==-1)z=x;
			else if(x.calc(l)-z.calc(l)>eps&&x.calc(r)-z.calc(r)>eps)z=x;
			else if(x.calc(l)-z.calc(l)>eps||x.calc(r)-z.calc(r)>eps){
    
    
				if(x.calc(mid)-z.calc(mid)>eps)swap(x,z);
				ch[cross(x,z)-mid>eps]->insert(x);
			}
		}else{
    
    
			if(x.l<=mid)zuo->insert(x);
			if(x.r>=mid+1)you->insert(x);
		}
	}
	double ask(int x){
    
    
		double re=(z.l!=-1?z.calc(x):0);
		if(l==r)return re;
		return max(re,ch[x>=mid+1]->ask(x));
	}
}*root=NULL;

int main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);
	root=new node(1,5e4);
	for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
		char s[10];scanf("%s",s);
		if(s[0]=='P'){
    
    
			func x;x.l=1;x.r=5e4;
			scanf("%lf %lf",&x.b,&x.k);x.b-=x.k;
			root->insert(x);
		}else{
    
    
			int x;scanf("%d",&x);
			printf("%d\n",(int)root->ask(x)/100);
		}
	}
}

题表

说是题表其实目前只有一题……

2020牛客NOIP赛前集训营-提高组（第一场）D-牛牛的RPG游戏   题解

以后遇到了什么有趣的题大概还会放上来的qwq。