二维dp数组01背包

题目

有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

图片

这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，
甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，
那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，
那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：


       重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30
问背包能背的物品最大价值是多少？

解题思路与算法

• 确定递推表达式：确定dp数组及其下标含义：dp[i][j]表示从0 - i中任意取放入容量为j的背包得到的最大价值 ;
  • 可以不取第i个或取第i个使得背包价值最大，
  • 即dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-value[i]])
• dp数组的初始化：若dp[i][j]中的j也就是背包容量为0，那么总价值dp[i][0]一定为0；若dp[i][j]中的i为0，也就是只取第0个物品放进背包里
  • if(j>=value[0]) 那么说明背包容量足够大能装下第0个物品dp[0][j-value[0]]
  • 则可以倒序遍历初始化dp数组，
  • for(int j=w;j>=weight[0];j–){dp[0][j]=dp[0][j-weight[i]]+value[i];}
• 确定遍历顺序：由递推表达式得有i-1,所有从前向后遍历

代码

public int zero_one_bag() {
    
    
		int[] weight = {
    
    1, 3, 4};
	    int[] value = {
    
    15, 20, 30};
	    int bagWeight = 4;

	    // 二维数组
	    int[][] dp=new int[weight.length+ 1][bagWeight + 1];

	    // 初始化 
	    for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    
    
	        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
	    }

	    // weight数组的大小 就是物品个数
	    for(int i = 1; i < weight.length; i++) {
    
     // 遍历物品
	        for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
    
     // 遍历背包容量
	            if (j < weight[i]) {
    
    
	            	dp[i][j] = dp[i - 1][j];
	            }
	            else {
    
    
	            	dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
	            }

	        }
	    }

	    return dp[weight.length - 1][bagWeight];
	}