「线段树」第 1 节：线段树是原始数组的一个预处理数组

线段树（segment tree）又称「区间树」，是一个高级数据结构，应用的对象是「数组」；
线段树是一种实现了高效的「区间查询」与「区间更新」的数据结构。

前置知识：理解「前缀和」数组

preSum[i] 表示 nums[0..i - 1] 里全部元素的和（一个数代表了原始数组的一个前缀区间的和）；
前缀和数组，就是一堆前缀和，可以用于：快速计算区间和（查询区间和）；
区间 [i..j] 的和： preSum[j + 1] - preSum[i]。

「前缀和数组」与「线段树」都是原始数组的预处理数组

有了前缀和数组，就可以把原始数组丢弃了；
有了线段树（数组），也可以把原始数组丢弃了。

可以认为都是对原始数组的预处理数组，把一些需要用到的值提前计算出来，思想：空间换时间。

例题：「力扣」第 303 题：区域和检索 - 数组不可变

题目链接：303. 区域和检索 - 数组不可变

分析：

我们可以设计一个前缀和数组，在查询区间和的时候，只用 $O (1)$ 时间复杂度，不过在数组元素有频繁更新的时候，会导致性能下降，即这种方式不适用于「力扣」第 307 题；
缺点：前缀和数组，在有更新需求的前提下，不能高效地工作。

Java 代码：

public class NumArray {
    
    

    // 前缀和思想：注意：有一个单位的偏移

    private int[] preSum;

    public NumArray(int[] nums) {
    
    
        int len = nums.length;
        preSum = new int[len + 1];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
    
    
            preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];
        }
    }

    public int sumRange(int i, int j) {
    
    
        return preSum[j + 1] - preSum[i];
    }

    public static void main(String[] args) {
    
    
        int[] nums = {
    
    1, 2, 3, 4};
        NumArray numArray = new NumArray(nums);
        int result = numArray.sumRange(2, 3);
        System.out.println(result);
    }
}


/**
 * Your NumArray object will be instantiated and called as such:
 * NumArray obj = new NumArray(nums);
 * int param_1 = obj.sumRange(i,j);
 */

Python 代码：

from typing import List


class NumArray:

    def __init__(self, nums: List[int]):

        """
        :type nums: List[int]
        """
        self.size = len(nums)
        if self.size == 0:
            return

        self.pre_sum = [0 for _ in range(self.size + 1)]
        self.pre_sum[0] = 0
        for i in range(self.size):
            self.pre_sum[i + 1] = self.pre_sum[i] + nums[i]

    def sumRange(self, i: int, j: int) -> int:
        if self.size > 0:
            return self.pre_sum[j + 1] - self.pre_sum[i]
        return 0

# Your NumArray object will be instantiated and called as such:
# obj = NumArray(nums)
# param_1 = obj.sumRange(i,j)

「力扣」第 307 题：区域和检索 - 数组可修改

题目链接：307. 区域和检索 - 数组可修改。

分析：

如果我们不使用任何数据结构，每次求「区间和」，都会遍历这个区间里的所有元素。如果区间里包含的元素很多，并且查询次数很频繁，时间复杂度是 $O (N)$ ；
如果使用前缀和，更新操作的时间复杂度是 $O (N)$ ；
如果我们使用线段树，就可以把时间复杂度降低到 $O(\log N)$ 。

这里要注意的是「线段树」解决的区间问题不涉及「添加」与「删除」操作。即「CURD」，只负责「U」和「R」。

使用「遍历」与使用「线段树」对于「区间更新」与「区间查询」操作的复杂度

	遍历	线段树
区间查询	$O (N)$	$O(\log N)$
区间更新	$O (N)$	$O(\log N)$

说明：由于我们的线段树（区间树）采用平衡二叉树实现，因此 $O(\log N)$ 中的对数函数以 2 为底，即 $O(\log N) = O(\log_2 N)$ 。

总结

线段树只回答了以下两个问题，不回答区间里有「删除」和「添加」操作的场景。

区间和查询
单点（区间）更新