非递归运算方式
对于数字1、2、3......n的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐个比较对应的数字的先后来决定的。例如对于5个数字的排列 12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。按照这样的规定，5个数字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是 54321。
例如给定的数，为21543，从右向左，找到一个右边的数比它大的数s[k]<s[k+1],然后在这个数的右边找到一个比它大的数中最小的一个数，跟他进行交换，把它右边的剩余的数进行翻转，按照升序进行排序。最后得到的数字为23145.
通过该算法，可以最快形式找出一个数字的全排列的数量。但是首先要把所有数字按照升序进行排序。
KMP算法
已知两个字符串，str1和str2,找出在str1这个字符串中第一次出现str2这个字符串的位置，如果有暴力法采取for循环的形式，空间复杂度较高。于是我们采取KMP算法，形式如下
此时情况：A——D这个区域等于A‘——D’这个区域，并且str中前缀和后缀中相同的最大一个部分为A‘B’和C‘D’，当我们比较E和F时发现他们不相同，于是我们为了节省时间，我们让str2后移，让A‘B’移动至现在C‘D’的位置，判断F和G是否相同。如果相同就继续向下进行比较，如果不同，则进一步回溯，在A‘B’这个区间内寻找一个前后缀相同的部分，最坏的结果是用str2最开始的字符和F进行比较，如果不相同，则跳出while循环。在下一步的for循环离进行
下面为详细的代码：
void cal_next(char *str, int *next, int len)
{
next[0] = -1;//next[0]初始化为-1，-1表示不存在相同的最大前缀和最大后缀
int k = -1;//k初始化为-1
for (int q = 1; q <= len-1; q++)
{
while (k > -1 && str[k + 1] != str[q])//如果下一个不同，那么k就变成next[k]，注意next[k]是小于k的，无论k取任何值。
{
k = next[k];//往前回溯
}
if (str[k + 1] == str[q])//如果相同，k++
{
k = k + 1;
}
next[q] = k;//这个是把算的k的值（就是相同的最大前缀和最大后缀长）赋给next[q]
}
}
Void calnext(char *p,int next[])
{
Int nlen=strlen(p);
Next[0]=-1;
Int j=-1;
Int j=0;
While(j<nlen-1)
{
If(k==-1 || p[j]=p[k];
{
++k;
++j;
Next[j]=k;
}
Else
{
K=next[k];
}
}
}
找到最大的next【j】+ 1 即可得到最大的前后缀相等长度
Void calnext(char *p , int next[])
{
Int nLen=strlen(p);
Next[0]=-1;
Int k=-1;
Int j=0;
While(j<nlen-1)
{
if( k==-1 || p[j]==p[k] )
{
++k;
++j;
If(p[j]==p[k])
Next[j]=next[k];
Else
Next[j]=k;
}
Else
{
K=next[k];
}
}
找到最大的next【j】+ 1 即可得到最大的前后缀相等长度
int KMP(char *str, int slen, char *ptr, int plen)
{
int *next = new int[plen];
cal_next(ptr, next, plen);//计算next数组
int k = -1;
for (int i = 0; i < slen; i++)
{
while (k >-1&& ptr[k + 1] != str[i])//ptr和str不匹配，且k>-1（表示ptr和str有部分匹配）
k = next[k];//往前回溯
if (ptr[k + 1] == str[i])
k = k + 1;
if (k == plen-1)//说明k移动到ptr的最末端
{
//cout << "在位置" << i-plen+1<< endl;
//k = -1;//重新初始化，寻找下一个
//i = i - plen + 1;//i定位到该位置，外层for循环i++可以继续找下一个（这里默认存在两个匹配字符串可以部分重叠），。
return i-plen+1;//返回相应的位置
}
}
return -1;
}
通过以空间换取时间复杂度，来进行该算法！
数据过多时应该采取哈希表！
目的：找到字符串中的最大回文序列的长度
如果已知这个字符串，里面有一个回文序列A，其中在I处和J处的字符相同，当我们已知I处的最大回文序列长度时，我们可以根据它得到与之在A中相对称的J处的最大回文序列长度，例如A的中心点为id，其能控制的范围从my到mx，加入I的最大回文序列长度的一半在I的左边加上后仍没超出边界，即可知道P【 J 】=P【 I 】，若超出或等于则有一下三种情况：
下面给出具体代码：
Id：我所研究的该序列的中心位置
Mx：我研究的中心位置控制到的它前面的最远距离
分两种情况进行，mx能控制住，mx不能控制住
For循环用于判断是否可以继续增加这个最大回文序列的长度。
原理：
映射关系：一一对照关系
Hash的几种映射模式
<< 这个符号的意思为左移，图中所给是左移五位，每次左移一次相当于乘以2，右移一次相当于除以2，再加上一个Hash相当于总共的（ Hash*33 ），这个值有些特殊，但有一个特殊的作用，可以防止发生雪崩，保证了基本每一个值都有一个与其对应的数，并且不会出现重复的现象。
如果发生Hash冲突，可以使用链表的方式来解决。
下图是另一种哈希模式：
下面给出一道题：
求一个数组中的两个数，这两个数的和为sum。Sum是给定值，我可以用hash表来解决，首先我把整个数组通过hash运算变成hash表，然后我遍历整个数组，如果存在一个a[i],并且hash(sum-a[i])在hash表中也存在。可以说明sum-a[i]是数组中的一个数，并且和a[i]构成了一对解。
如果题目改成多个数相加和为sum，求多个数的算法，则由下面这个程序来完成。
为了程序可以运行的更快，我们可以考虑在其中加入限制条件，如果不满足则进行下一步或退出，加快程序的运行速度。Has为前面的值加和，residue为后面所有的值加和。
x[i]=true的意思是这个值为一，当我print打印的时候可以把它打印出来。
当a[i]为正数时，如果has <=sum && has+zhengshu>=sum 那么就加上a[i].
如果当has+zhengshu-a[i]>=sum 就不要a[i] 如果存在负数的情况，首先对整个数组进行正负排序，把负数全部都放在前面，同样地 :
Has=i=0i→xa[i] residue=剩下的a[i]的和（从x到末尾）
当我在检索负数这个区域时，如果发现has+fushu<=sum && has+zhengshu>=sum，如果has+zhengshu+a[i]>=sum，就加上这个数。
这里是一道题：给出三个数，例如0 1 2 ，把他们相同的一样的分成一堆放在一起，变成类似于0011222，采用双指针法，一个如果发现0，就把它挪到前边，如果发现2，就调换位置，把它塞到后面去。
完美洗牌变换
给定一个序列a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
进行一定的排序使其变成 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4
前n个元素中第i个元素的最终位置为 （ 2 x i ）.
后n个元素中第i个元素的最终位置为 （ 2 x i ）%（ 2 x n+1 ）
结论：
可以分成k个闭环的圈
|
|
||
|
|
|
|
| m n-m |
m n-m |
二叉树
给出一个数组，首先选择一个值放在最中间，它左下角的数要比中值小，右下角的数要大于中值，二叉查找树：
- 左子树的所有节点值均小于根节点值
- 右子树上的所有节点值均不小于根节点值
- 左右子树也满足上述两个条件
前序遍历：
- 访问根节点
- 前序遍历左子树
- 前序遍历右子树
中序遍历
1. 中序遍历左子树
2. 访问根节点
- 中序遍历右子树
后序遍历：
1. 后序遍历左子树
2. 后序遍历右子树
3. 访问根节点
Inorder: 中序 postorder: 后序 preorder: 前序
已知前序遍历结果和中序遍历结果，求后序遍历
已知中序后序遍历方式，求前序遍历结果
后序遍历
Void preorder(biTree* T)
{ If(!T)
Return;
Preorder(T->lchild)
Preorder(T->rchild);
Visit(T)
}
中序遍历
Void preorder(biTree* T)
{ If(!T)
Return;
Preorder(T->lchild)
Visit(T)
Preorder(T->rchild);
}
前序遍历
Void preorder(biTree* T)
{ If(!T)
Return;
Visit(T)
Preorder(T->lchild)
Preorder(T->rchild);
}
情况一：这个点的左分支和右分支都没有值（p为叶子支点）
情况二：这个点的两分支中有一个是NULL情况（p为单支节点）
情况三：这个点的两边都有值（p的左子树和右子树都不为空）
在整个树内查找一个值
Vector容器
在c++中，vector是一个十分有用的容器。
作用：它能够像容器一样存放各种类型的对象，简单地说，vector是一个能够存放任意类型的动态数组，能够增加和压缩数据。
vector在C++标准模板库中的部分内容，它是一个多功能的，能够操作多种数据结构和算法的模板类和函数库
特别注意：
使用vector需要注意以下几点
1、如果你要表示的向量长度较长（需要为向量内部保存很多数），容易导致内存泄漏，而且效率会很低；
2、Vector作为函数的参数或者返回值时，需要注意它的写法：
double Distance(vector<int>&a, vector<int>&b) 其中的“&”绝对不能少！！！
实例：vector<int>test
//建立一个vector，int为数组元素的数据类型，test为动态数组名简单的使用方法如下：
vector<int>test;//建立一个vector
test.push_back(1);
test.push_back(2);//把1和2压入vector，这样test[0]就是1,test[1]就是自己见到的实例
vector<vector<Point2f> > points; //定义一个二维数组
points[0].size(); //指第一行的列数
基本操作
| 项目 |
所需数目 |
| 头文件 |
#include<vector>. |
| 创建vector对象 |
vector<int> vec; |
| 尾部插入数字 |
vec.push_back(a) |
| 使用下标访问元素 |
cout<<vec[0]<<endl;记住下标是从0开始的 |
| 使用迭代器访问元素. |
vector<int>::iterator it; for(it=vec.begin();it!=vec.end();it++) cout<<*it<<endl;
|
| 插入元素 |
vec.insert(vec.begin()+i,a) 在第i+1个元素前面插入a |
| 删除元素 |
vec.erase(vec.begin()+2);删除第3个元素 |
| 向量大小 |
vec.erase(vec.begin()+i,vec.end()+j);删除区间[i,j-1];区间从0开始
|
| 清空 |
vec.clear(); |
特别提示：这里有begin()与end()函数、front()与back()的差别
2、重要说明
vector的元素不仅仅可以是int, double, string,还可以是结构体，但是要注意：结构体要定义为全局的，否则会出错。
算法
(1) 使用reverse将元素翻转：需要头文件#include<algorithm>
reverse(vec.begin(),vec.end());将元素翻转，即逆序排列
(在vector中，如果一个函数中需要两个迭代器，一般后一个都不包含)
(2)使用sort排序：需要头文件#include<algorithm>，
sort(vec.begin(),vec.end());(默认是按升序排列,即从小到大).
可以通过重写排序比较函数按照降序比较，如下：
定义排序比较函数：
bool Comp(const int &a,const int &b)
{
return a>b;
}
调用时:sort(vec.begin(),vec.end(),Comp)，这样就降序排序。
输出Vector的中的元素
二维数组的使用：
基本归纳法：
有A1、A2、A3、… An n种状态，他们的关系为后一项的状态由前一项的状态所决定，和在之前的无关；这个也叫马尔可夫链。
高阶归纳法：
有A1、A2、A3、… An n种状态，Ai的状态由n=1i-1An 所决定
由前（i-1）项决定。