Matlab建模—无约束优化与非线性规划相关算例

数学建模期末复习，撰写博客做总结之用，主要侧重于算例的模型建立与部分代码的实现，其中不足之处望读者多多指正。

前言

 主要复习的是两个问题的数学模型建立的过程，代码实现省略。

非线性规划问题

供应与选址

问题描述

某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：km）及水泥日用量d(t)由下表给出．目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20t．假设从料场到工地之间均有直线道路相连．
（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少水泥，可使总的吨千米数最小．
（2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量各为20t，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？

模型建立

• 符号说明
  工地的位置为（$a_i,b_i$）,水泥的日用量$d_i$,i=1,2……，6；料场位置为（$x_j,y_j$）,日储量为$e_j$,j=1,2;料场j向工地i运送的水泥量为$X_{ij}$.
• 问题1模型建立
  目标：$$\min f=\sum _{j=1}^2\sum _{i=1}^6{X}_{ij}\sqrt{{(x_j-a_i)}^2+{(y_j-b_i)}^2}$$
  约束：$$\begin{array}{l}\sum _{j=1}^2{X}_{ij}=d_i,i=1,2,\cdots ,6\\ \sum _{i=1}^6{X}_{ij}\le e_j,j=1,2\end{array}$$
  此时使用临时料场的决策变量为：$X_{ij}$.
• 问题2模型建立
  $$\min f=\sum _{j=1}^2\sum _{i=1}^6{X}_{ij}\sqrt{{(x_j-a_i)}^2+{(y_j-b_i)}^2}$$
  $$\begin{array}{l}\text{ s.t. }{\sum }_{j=1}^2{X}_{ij}=d_i,i=1,2,\cdots ,6\\ {\sum }^6{X}_{ij}\le e_j,j=1,2\end{array}$$
  此时不使用临时料场，决策变量变为：$X_{ij}、x_j、y_j$。

无约束最优化

梯子长度问题

问题描述

一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室, 高3m,温室伸入花园2m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?

模型建立

• 符号假设
  $L:梯子的长度$；
  $L_1:梯子的上半段$；
  $L_2:梯子的下半段$；
  $\theta :梯子与地面的夹角$;

• 模型建立
  据题意易得：$$L=L_1+L_2(1);$$
  其中:
  $$L_1=\frac{a}{cos(\theta )}(2)$$
  $$L_2=\frac{b}{sin(\theta )}(3)$$
  综合（1）、（2）、（3）式可得原式可等效为：
  $$minL=\frac{2}{cos(\theta )}+\frac{3}{sin(\theta )}其中：0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

• 数学方式求：
  对$\theta$求导令导数为零，其为零时可得对应的最值，再求对应的二阶导可判断其的取值情况。

• Matlab求取：

%梯子问题
a=2;
b=3;
str=[num2str(a),'/cos(x)+',num2str(b),'/sin(x)'];
f=str2func(['@(x)',str])
ezplot(str,[0,pi/2])
[x,fmin]=fminsearch(f,1)

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x =0.8527
fmin =7.0235
即梯子的最小长度为7.0235米。

水槽问题

问题描述

有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

问题求解

• 模型
  设裁剪的正方形的边长为$x$,这水槽的容积为：$$(3-2x{)}^{2}x$$
  可建立无约束优化模型：min $y=(3-2x^2)x$ 0<x<1.5;
• Matlab求解

%铁板问题
f='-(3-2*x).^2*x'
[x,fval]=fminbnd(f,0,1.5);
ezplot(f,[0,1.5])
  xmax=x
  fmax=-fval

• 结果
  

xmax =0.5000
fmax =2.0000
可得边长取0.5m取得最大容积$2m^3$